Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
1

Задача про 3 двери: какая стратегия более выгодная (см.)?

Outline [13.5K] 5 месяцев назад

Продолжу серию задач (стратегия с вероятностью выигрыша больше 50%, как выжить на дуэли) по теории вероятностей.

Три двери

Вы участвуете в телешоу. Перед вами три двери, за одной (и только за одной) из них приз. Вы указываете на одну дверь. После этого ведущий открывает другую дверь, и показывает, что за ней приза нет. И он спрашивает вас: "Не хотите ли поменять свой выбор?".

Теперь у вас есть две возможности:

  1. Подтвердить свой изначальный выбор.
  2. Выбрать другую закрытую дверь.

Какую бы дверь вы не выбрали на втором шаге, она открывается, и вы получаете то, что за ней.

Вопрос: какая стратегия выгоднее (1 или 2)? И какова вероятность получить приз в каждой из них?

P. S. Ведущий знает, где приз, и всегда открывает только ту дверь, где приза нет. И он всегда предлагает перевыбрать.

2

В 2005-м году подобная задача была на одном из форумов. Вот одно решение, предложенное неким участником:

Изначально у игрока три двери, и три варианта того, как могли расположиться объекты за дверями (п - приз, з - (зеро, пусто)):

1) пзз

2) зпз

3) ззп

Далее игрок указывает на одну из дверей. Это дает нам девять вариантов ситуации. Перечисляем их, выделив большой буквой выбор игрока:

1.1) Пзз

1.2) пЗз

1.3) пзЗ

2.1) Зпз

2.2) зПз

2.3) зпЗ

3.1) Ззп

3.2) зЗп

3.3) ззП

Все эти случаи равновероятны, других случаев быть не может.

Вот теперь начинается самое главное. Ведущий, который знает за которой дверью находится приз для случаев, когда игрок выбрал дверь с призом имеет две двери, любую из которых он может открыть. Но если игрок выбрал дверь, за которой ничего нету (эту дверь ведущий открыть не может), то его выбор ограничивается лишь одной дверью.

Итак, имеем девять вариантов выбора двери, из которых три, в которых игрок указал на дверь с призом и шесть, в которых игрок указал на дверь с пустотой. В случае, если игрок указал на дверь с призом, у ведущего есть возможность указать на обе оставшиеся двери, с равной вероятностью. То есть - на выходе имеем шесть комбинаций. В случае же, когда игрок указал на дверь с пустотой, у ведущего есть выбор только одной оставшейся двери. Что дает нам еще шесть из двенадцати комбинаций (иначе ведущему пришлось бы открыть дверь с призом, не знай он, где что находится). Таким образом, мы получаем, что из восемнадцати равновероятных для игрока комбинаций ведущему доступно только 12 комбинаций. Поэтому далее мы и получаем, что для ведущего вероятность остается равной, но для игрока лишь в 6 комбинациях из 18 равновероятных приз находится за другой дверью. Ведь оставшиеся шесть - имеют нулевую вероятность - ведущий не откроет дверь с призом, если игрок указал на дверь с пустотой.

Вот и получаем, что в 6/18 случаев приз находится за другой дверью, а в 12/18 за той, которую указал игрок.

22222222222222222222­2222222222222

Другой участник обсуждения возражает ему:

Ну что вам стоит поставить опыт по-другому?

Есть 100 дверей, за одной приз, за остальными ничего. Игрок указывает на любую дверь, после чего ведущий открывает 98 дверей с пустотой.

Если следовать предыдущей логике, то вероятность, что за оставшейся дверью приз равна 0.99

Можете продолжить с большим количеством дверей, результаты будут еще поразительней. Но после этих действий у игрока останется всего 2 двери, за одной - приз, за другой - ничего. Выбор решает монета.

33333333333333333333­333333333333333

А вот ещё другое мнение:

Вот поэтому я ненавижу математику.

Дверь с пустотой, которую открывает ведущий, можно вообще исключить из условия. Она всегда будет с пустотой. Можно для красоты эту дверь поставить в сторонке, нарисовать на ней "пусто" и не открывать вовсе. Или не закрывать.

44444444444444444444­44444444444444444

Так каков же итог этой непростой задачи?

Я думаю так. Хоть и первоначальный удачный выбор двери и был у данного участника 1/3, открытие пустой двери свело это к вероятности 1/2. А тут уже ему всё равно, оставить прежний выбор, или просто сменит его на другой, или как-то иначе ещё сделать свой случайный выбор. Ничего от этого не меняется.

Евгений Борисович [1.6K]
Неверное рассуждение.
Посмотрите задачу в оригинале.
Игорь Шарыгин, "Математический винегрет",
2-е издание, исправленное и дополненное, 2002, Москва. — 1 день назад
 5 месяцев назад
комментировать
2

После открывания первой двери, за которой по условию приза нет ваши шансы угадать где он находится заметно возрастают. Новая вероятность успеха (или неуспеха) составит 50%, но не больше! А значит, если не брать во внимание психосоматические аспекты поведения ведущего (он ведь знает, где находится приз), то вам должно быть "по барабану" менять свое первое решение или нет. Тут уже ваше поведение зависит от степени вашего же упрямства и банальной везучести.

Т.е. все довольно субъективно, однако как показывает опыт открывания шкатулок у того же Якубовича, редко кто меняет свое первое решение, как бы ведущий не провоцировал игрока. Другими словами большинство считает первую стратегию более выгодной.

Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация
OpenID