Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
3

Задача про четырехугольник и треугольник с равными площадями. Как решить?

Vasil Stryzhak [10K] 1 неделю назад

Все стороны треугольника АВС равны единичному отрезку. Из точки F (средины стороны ВС) проведен отрезок FD, до пересечения с продолжением основания треугольника. В результате образовались: четырехугольник АЕFС и треугольник АDЕ с равными площадями, которые надлежит вычислить.

бонус за лучший ответ (выдан): 149 кредитов
вопрос поддержали: smog2605 35 кредитов, Василий Котеночкин 99 кредитов
1

Поскольку AEFC равен ADE, то DFC в два раза больше по площади ADE.

S(dfc) = CD * sqrt(3) /8

Теперь как-нибудь выразим площадь ADE

AD = CD - 1

По теореме синусов

AD/sin E = DE/sin(2pi/3)

DE = (CD - 1)sqrt(3)/(2 sin E)

По формуле площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними.

S(ade) = 0,5 * AD * DE * sin D = (CD - 1)^2 sqrt(3) sin D / (4 sin E)

Углы D и Е дают в сумме pi/3

Исходя из этого попробуем найти отношение их синусов

sin E / sin D = (cos D sin(pi/3) - sin D cos(pi/3))/sin D =

(sqrt(3)*ctg D) /2 - 0,5 = 0.5*(sqrt(3) * ctg D - 1)

С учетом, что ctg D = 4*(CD - 0,25)/sqrt(3)

sin E / sin D = 0,5 (4 CD - 2)= 2CD - 1

sin D / sin E = 1/(2 CD - 1)

Возвращаемся к площади

S(ade) = 0.25 * (CD - 1)^2 sqrt(3)/( 2*CD - 1)

Как было сказано в самом начале 2*S(ade) = S(dfc)

0.5 * (CD - 1)^2 * sqrt(3)/( 2*CD - 1) = CD * sqrt(3) /8

Сокращаем корни, приводи к общему знаменателю

4(CD - 1)^2 = CD * (2 * CD - 1)

4CD^2 - 8CD + 4 - 2 CD^2 + CD = 0

2 CD ^2 - 7 CD + 4 = 0

CD(1,2) = (7+-sqrt(49 - 32) )/4

Тот из корней, что меньше 1, отбрасываем.

СD = 2,7807764064

Площади треугольника ADE и четырехугольника АЕFС равны

0,301027876273828 у каждого.

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
1

Обозначим AD как "х". Через точку E проведём прямую, параллельную ВС (FC). Точку её пересечения с АС обозначим K. Получился равносторонний треугольник AEK. Обозначим его сторону "у".


Треугольники DEK и DFC - подобны. Из подобия следует: y/(1/2)= (x+y)/(x+1). Выражая отсюда у через х, получаем: у=х/(2х+1).


Из условия что площади четырёхугольника АЕFС и треугольника АDЕ равны, следует, что площадь треугольника DFC в 2 раза больше площади треугольника АDЕ. Площадь треугольника ADE равна S(ADE) = (1/2) * х * у * sin(120°)=xy(√3/4).

Площадь треугольника DFC равна S(DFC)=(1/2)*(х+1)*(­1/2)*sin(60°)=(х+1)/­((√3/8).

Получаем простенькое уравнение: (х+1)/((√3/8)=2*xy(√­3/4), или,

(подставляя значение у) х+1=4x^2/(2x+1). Оно сводится к квадратному: 2x^2+3x-1=0.

Его решение: х=(3+√17)/4. Далее находим у: у= [(3 + √17) / 4] / [2*(3 + √17)/4 + 1]=

=(3 + √17) / (10 + 2 √17).

Итак, х=1,780776406, у=0,390388203.

Вряд ли есть необходимость вычислять сами значения искомых площадей, но если уж так хочется, то искомые площади равны 0,301027876.

Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация
OpenID