Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
2

Задача. Какова высота стеклянной кружки вместимостью 700 мл?

Vasil Stryzhak [10K] более месяца назад

В стеклянную кружку в форме усеченного конуса налили 80 мл воды, при этом ее уровень, измеренный по боковой поверхности, составил 40 мм. Затем довели объем влитой воды до 260 мл, уровень жидкости увеличился до 100 мм.

Следует вычислить высоту боковой поверхности кружки (образующую усеченного конуса).

бонус за лучший ответ (выдан): 20 кредитов
1

Дополним конус до полного (вернув отсечённую вершину). Теперь сделаем сечения на заданных уровнях. Получим четыре подобных конуса. Обозначим образующую конуса - "l", высоту - "h", радиус основания - "r", угол между образующей и высотой конуса (фи).


Объём любого конуса (V)=(Пи/3)*r^2*h=(Пи­/3)*sin^2(фи)*cos(фи­)*l^3. Поскольку выражение (Пи/3)*sin^2(фи)*cos­SHY остаётся неизменным, для упрощения обозначим его "k".

Тогда объёмы всех конусов будут иметь вид V(i)=к*l^3(i)


Обозначим длину отсечённой части конуса "х", его объём "v". Длину образующей исходного усечённого конуса обозначим "у". Чтобы при возведении в куб, получались миллилитры, длины нужно выражать в см.

Получаем четыре конуса с образующими х, (х+4), (х+10), (х+у)

и объёмами v, (v+80), (v+260), (v+700).

Выразим объёмы по вышеприведённым формулам:

1) V1 = v = kx^3;

2) V2 = (v+80) = k(x+4)^3;

3) V3 = (v+260) = k(x+10)^3;

4) V4 = (v+700) = k(x+y)^3.


Вычитая из объёма второго конуса объём первого, получим:

(v+80)-v = k(х+4)^3 - кх^3;

80 = k[(х+4)^3 - х^3];

Применяя формулу "разности кубов", упростим выражение:

80 = k*4*[(х+4)^2 + (x+4)*x + x^2];

k = [(х+4)^2 + (x+4)*x + x^2]/20;

k = (3x^2 + 12x + 16)/20.


Аналогично, для разности третьего и первого конусов получаем:

260 = к*10*[(х+10)^2 + (x+10)*x + x^2];

к = [(х+10)^2 + (x+10)*x + x^2]/26;

k = (3x^2 + 30x + 100)/26.

Приравнивая правые части получаем простенькое "квадратное уравнение":

(3x^2 + 12x + 16)/20 = (3x^2 + 30x + 100)/26.

1,3*(3x^2 + 12*x + 16) = (3x^2 + 30x + 100);

3,9x^2 + 15,6x + 20,8 = 3x^2 + 30x + 100;

0,9x^2 - 14,4x -79,2 = 0;

x^2 - 16x - 88 = 0;

x = 8 + √ (64+88);

x = 8 + √ 152;

x = 8 +12,33;

x = 20,33.


Проводим проверку.

По полученным соотношениям 1/k= (3x^2 + 12x + 16)/20 и 1/k = (3x^2 + 30x + 100)/26 вычислим "k":

В обоих случаях получилось 1/k = 74,98648402.

Отсюда k=1/74,98648402=0,01­3335737.


Далее, вычислим следующие величины по формуле V=k*l^3.

Получаем:

V1 = 112,0350813;

V2 = 192,0350813;

V3 = 372,0350813;

(V2 - V) = 80;

(V3 - V) = 260.


Объём полной кружки равен 112,0350813 + 700 = 812,0350813.

По формуле V = k * (x+y)^3.

Тогда (x+y)^3 = 812,0350813/0,013335­737 = 60891,65565.

(х+у)= (60891,65565)^(1/3) = 39,34165216,

у = 39,34165216 - 20,32882801 = 19,01282415 см.

Итак, искомая величина равна 19 см.

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
2

Пусть высота боковой поверхности кружки(образующей усеченного конуса)-х.

Радиус нижнего основания кружки-а

Радиус первой водной "плоскости "-в

Радиус второй водной "плоскости "-с

Радиус верхнего основания кружки(третьей водной " плоскости ")-р

У нас а<b<c<p.

Теперь достроим усеченный конус до полного.

Имеем 4 полных конуса с высотами h1, h2 ,h3, h4

и объёмами:

V1=n*a^2*h1/3

V2=n*b^2*h2/3

V3=n*c^2*h3/3

V4=n*p^2*h4/3

Пусть длина образующей первого полного конуса( с объёмом V1 )=L

тогда длина образующей для конуса с объёмом V2=L+40

V3--L+100

V4---L+x

Образующая,высота,ра­диус в комплексе-это некий прямоугольный треугольник.

Тогда имеем в треугольниках некий угол У,угол (90-У) и прямой угол 90 градусов.

Величина угла У нам не нужна ,так как она сократится при вычислениях.

Имеем:

L=a/sin Y=h1/cos Y

L+40=b/sin Y=h2/cos Y

L+100=c/sin Y=h3/cosY

L+x=p/sin Y=h4/cos Y.отсюда вытекает:

(L+40)/L=b/a=h2/h1

(L+100)/L=c/a=h3/h1

(L+x)/L=p/a=h4/h1

У нас:

V2=V1+80

V3=V1+260

V4=V1+700

Найдем отношения объёмов:

V2/V1=(1+(80/V1))=b^­2*h2/(a^2*h1)

V3/V1=1+260/V1=c^2*h­3/(a^2*h1 )

V4/V1=1+700/V1=p^2*h­4/ (a^2*h1)

В этих отношениях объемов мы правые части заменим с использованием значений направляющих.Это вытекает из соотношений в треугольниках.

Имеем:

1+80/V1=(L+40)^3/L^3

1+260/V1=*L+100)^3/L­^3

1+700/V1=(L+x)^3/L^3­.

Имеем 3 равенства и 3 неизвестных величины.

Но лично я запутался при вычислениях и получил х примерно равным 210 мм.

Евгений Борисович [1.5K]
Всё верно. Удобнее записать так:

1 + 80/V = (1 + 40/L)³;
1 + 260/V = (1 + 100/L)³;
1 + 700/V = (1 + x/L)³.

x ≈ 190,13.

Числа, конечно, неудачно подобраны.
 более месяца назад
Vasil Stryzhak [10K]
Естественно, проще воспользоваться готовым решением, чем предложить свое. Кому числа безобразны, могут сюда не заглядывать.  более месяца назад
комментировать
1

Поднявшись по наклонному уровню в:

100мл / 40мл = 2.5 раза, объём жидкости за счёт конусности сосуда увеличился в:

260мм / 80мм = 3.25 раза.

Отношение составляет:

3.25 / 2.5 = 1.3

Допускаю (хотя понимаю, что это не верно), что увеличение объёма в:

700мл / 260мл = 2.69 раза не приведёт к увеличению уровня тоже в 2.69 раза:

100мм * 2.69 = 269мм, а приведёт к увеличению уровня:

269мм / 1.3 = 207мм

Ответ: 207мм

Vasil Stryzhak [10K]
Подход к решению задачи неверный, следовательно, ответ тоже.  более месяца назад
комментировать
Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация
OpenID