Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
8

Как найти углы треугольников без применения формул тригонометрии?

НикПетр [4.8K] 2 года назад

Надо найти углы ABO и OBC, не используя тригонометрические функции.

Составлены четыре уравнения для c, d, x и y. Оказалось, что они не являются взаимонезависимыми, поэтому решить эту систему уравнений невозможно.

Замените одно из написанных здесь уравнений (укажите, какое) уравнением, которое в сочетании с тремя оставшимися представляло бы систему независимых уравнений и позволило бы найти углы х и у.

Или опубликуйте другой путь решения.

бонус за лучший ответ (выдан): 10 кредитов
вопрос поддержали: AlDron 5 кредитов
Lizard64 [8.9K]
а у этой задачи точно есть решение?  2 года назад
НикПетр [4.8K]
Этот вопрос об углах треугольника я заимствовал с сайта "ответы@mail.ru­­­, вопрос поступил от кого-то из школьников. Исходный рисунок скопирован оттуда. Надеюсь, что решение есть.  2 года назад
НикПетр [4.8K]
06.02.2020. Нарушаю обет молчания, потому что появился ответ от Vasil Stryzhak.
Я не понял до конца написанное им. Опять тригонометрические функции. Тем не менее для общего развития полезно было узнать о тригонометрической согласованности. И ещё хорошо, что теперь вы можете зайти в профиль Vasil Stryzhak и посмотреть, какие задачи он задаёт и какие предлагает решения.
Его ответ подтолкнул меня к анализу уравнений, которые я написал в вопросе левее треугольника.
Что отображают первые три уравнения? Поскольку в основе этих трёх лежит то, что сумма углов треугольника равна 180°, каждое из них соответствует множеству подобных треугольников, у которых к тому же два угла не определены, а задана только их сумма.
Что отображает четвёртое уравнение? То, что три треугольника должны быть примкнуты сторонами АО, ВО и СО друг к другу, что обеспечит нахождение одного из углов каждого треугольника в токе О. (окончание в следующем комментарии)
 2 года назад
НикПетр [4.8K]
Чего нехватает, чтобы существовал треугольник АВС? Попарного равенства сторон АО, ВО и СО треугольников, то есть, трёх соответствующих уравнений. Итого получается семь уравнений. Все ли они необходимы — сказать не могу.
Для совместного решения этих уравнений не обойтись без тригонометрических функций, значит, эта система уравнений нам не подходит.
Поскольку мы исходим из того, что задача тем не менее решаема, мне видится только одна возможность: принять во внимание, что мы имеем дело с частным случаем, когда отрезок АО, продолженный до стороны ВС, является высотой треугольника АВС. А у высот есть свойство пересекаться в одной точке.
Нам уже подсказали, что угол у равен 41 градусу, и мы заметили, что сумма углов ОАВ и АСО равна 41 градусу. Осталось какими-то построениями сделать углы ОАВ и АСО прилежащими и затем показать, что угол, составленный из углов ОАВ и АСО, равен углу у.
 2 года назад
НикПетр [4.8K]
Под попарным равенством сторон треугольников я имею в виду,что сторона АО одного треугольника равна стороне АО другого треугольника и т. п.  2 года назад
комментировать
3

Без ограничения общности можно считать длину отрезка АС равной 1. Тогда можно только одним способом провести прямую АВ и только одним способом провести прямую СВ. Эти две прямые пересекутся только в одной точке (О). Аналогично, существует единственный вариант точки В, и, следовательно, отрезок ВО определяется единственным образом. А раз это так, угол АВО имеет единственно возможное значение, как и угол СВО.

Точное величины этих углов легко найти методами аналитической геометрии:

Пусть координаты точки А равны (0; 0), а точки С – (1;0).

Тогда уравнение прямой АО: y = x tg11, а уравнение прямой СО: y = (1-x) tg8.

Прямые АО и СО пересекаются в точке О, координаты которой определяются системой из этих двух уравнений:

Ох = tg8/(tg8+tg11) = 0,419623655559606…

Oy = Ox tg11 = 0,081566575889176…

Совершенно аналогично, координаты точки В равны

Вх = tg79/(tg79+tg44) = 0,841955744170321…

Вy = Вx tg44 = 0,813067211029615…

Вектор ВА имеет координаты:

ВАх = Ах – Вх = -0,841955744170321…

ВАу = Ау – Ву = -0,813067211029615…

и длину |BA| = sqrt(ВАх^2+ ВАу^2) = 1,170456220792930…

Вектор ВO имеет координаты:

ВОх = Oх – Вх = -0,422332088610715…

ВОу = Oу – Ву = -0,731500635140440…

и длину |BO| = sqrt(BOx^2+ BOy^2) = 0,844664177221430…

Скалярное произведение векторов ВА и ВO:

ВА ВO = ВАх ВОх + ВАу ВОу = 0,950344109233270…

Косинус угла АВО:

cos ABO = ВА ВO / (|BA| |BO|) = 0,961261695938319…

угол ABO = arccos(0,96126169593­8319…) = 16,000000000000000… гр.

Аналогичным способом найдём величину угла СВО: 41,000000000000000… гр.

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
8

А ларчик просто открывался. Чтобы решить эту задачу не надо было заморачиваться с уравнениями. Достаточно было только достроить треугольник до прямоугольника и высчитать всё с использованием прямых углов. Ведь всем известно что они равны 90 градусам. В результате получилось что угол АВО=46 градусам, а ОВС=11 градусам.

До расчетов это выглядит так.

В начале нашла угол ВАМ=90-11-33=46.

Затем вычислила МВА=180-90-46=44

И на последок нашла АВО=90-44=46

Всё тоже самое проделала и с другой стороной.

ВСN=90-8-71=11

CBN=180-11-90=79

OBC=90-79=11

А тут можно взглянуть на рисунок с уже отмеченными углами.

Михаил Белодедов [26.1K]
Тут надо сначала доказать, то угол МВО равен 90...  2 года назад
anomalia [94.1K]
Да такое решение будет верным, только если угол МВО равен 90. Но я пришла к выводу что углы х и у могут иметь любое значение кроме 0. Главное тут чтобы их сумма была равна 57 градусам, а угол y был меньше, чем х.  2 года назад
НикПетр [4.8K]
Среди многих и я проголосовал за этот ответ, но через несколько часов понял, что результат здесь получен неверный. Попробуйте нарисовать треугольники в графическом редакторе,и вы убедитесь в этом.  2 года назад
комментировать
2

Всё, я нашёл решение безо всяких тригонометрических формул) Из представленного рисунка видно, что отрезок АО - высота треугольника АВС, поскольку <ОАС (знак "<" обозначает угол) и <ВСА в сумме дают 90 градусов. Продлим данный отрезок до основания ВС (обозначим точку их пересечения буквой H) - получаем прямоугольный треугольник СНО с прямым углом Н, в котором <СОН составит 19 градусов (90 - 71). Таким образом, <ВОС = <ВОН + <СОН = <ВОН + 19, но <ВОС также находится как сумма <ВСО и <ОВС, то есть <ВОС = 71 + <ОВС. Приравниваем два равенства, получаем <ВОН + 19 = 71 + <ОВС или <ВОН - <ОВС = 71 - 19 = 52. Но при этом <ВОН + <ОВС = 90, отсюда получаем простую систему из двух уравнений:

<ВОН - <ОВС = 52

<ВОН + <ОВС = 90;

из которой находим <ВОН = 71 и <ОВС = 19. Далее не составит труда найти остальные углы.

В итоге получаем: y (<ОВС) = 19, x (<АВО) = 38, d (<АОВ) = 109, c (<ВОС) = 90.

2

Предоставляю полное решение задачи в 4 детских шага, обращу внимание, задача решена с использование построение правильной геометрической формы, однако это условие вовсе не обязательно соблюдать, ход решения никак не изменится.

P.S. Несмотря на такое простое решение, многим оно может показаться шарлатанским или еще каким, скажу, что метод с применением аналитической геометрии Михаила Белодедова мне более симпатичен, однако без хорошей логической последовательности хода решения и отсутствии калькулятора (ЭВМ) на практике не применим, ввиду сложности расчета, где, считаю, мой метод также не менее универсальным в данном типе задач и по совместительству более простым.

НикПетр [4.8K]
02.02.2020. 1. Ввести угол Х₁=30 означает утверждать, что угол между отрезком ВО, над которым Вы написали «2а», и отрезком АС равен 60 градусам. Вы этого не доказали, хотя и не ошиблись.
2. Ваш рисунок привлекателен аккуратностью, но я не нашёл на нём упоминаемого Вами угла Z₁.
3. В решении не упоминается отрезок, проведённый Вами от точки О до отрезка ВС.
 2 года назад
VictorNeVr­ach [6K]
1) Доказать удалось только графически, если использовать сетку, которой на рисунке нет, то легко заметить это соотношение. Пока доказательство приемами геометрии никак найти не удается, вероятно это вообще чистая числовая случайность, коих не так уж и много. Если найду метод доказательства, обязательно допишу.
2) Z1=90, отмечен квадратиком.
3) Отрезок был добавлен чисто для наглядности.
 2 года назад
комментировать
2

Из уравнения х+d=147° вычитаем уравнение х+у=57°, получаем d-у=90°. Из уравнения у+с=109° имеем у=109°-с. Из треугольника ВОС с+у=180°-71°=109°. Углы d и у смежные, их сумма d+у=180°. Из уравнения d+у=180° вычитаем уравнение d-у=90°, получаем 2у=90°, у=45°, тогда с=109°-45°=64°, х=57°-45°=12°, с=109°-45°=64°, d=180°-45°= 135°.

НикПетр [4.8K]
d и y не подходят под определение смежных углов, они являются прилежащими. Поясните, пожалуйста, из чего следует, что d+y=180°. Спрашиваю это потому, что найденные Вами величины углов являются правильными.  2 года назад
bezdelnik 1 [1.1K]
В интернете углы d и y подходят под определение смежных углов сумма которых равна 180°.  2 года назад
НикПетр [4.8K]
Беру назад своё утверждение, что углы d и y являются прилежащими.
В интернете есть два разных определения смежных углов; на каком основывается Ваше утверждение: из Википедии или из webmath? Различие в том, что в Википедии отсутствует условие, что смежные углы должны иметь общую вершину. Я основываюсь на определении из webmath.
Я делал дополнительные построения, пытаясь построить угол, равный у и примыкающий к углу d (и чтобы их внутренние области не покрывали друг друга). Я пытался построить угол, равный d и примыкающий к углу y. Мои попытки не увенчались успехом. Может быть, это удастся Вам и Вы опубликуете ответ с соответствующим рисунком.
 2 года назад
bezdelnik 1 [1.1K]
Я не знаю что такое webmath не смогу опубликовать ответ с соответствующим рисунком.  2 года назад
НикПетр [4.8K]
Адрес в интернете «Что такое смежные углы?»
http://sobes.net/for­­um/index.php?s=­&­showtopic=1182­&v­iew=findpost&­p=3­1052
Или иначе: в поисковике задаёте поиск Что такое смежные углы? Сегодня поисковик в Гугл указал мне на ответ в webmath.ru в одной из первых строк, а поисковик в Яндекс — на второй странице результатов.
Цитирую: Смежными углами называются два прилежащих угла, несовпадающие стороны которых образуют прямую. Углы называются прилежащими, если они имеют общую вершину и общую сторону, а также, если их внутренние области не покрывают друг друга.
Из рисунка, сопровождающего это определение прилежащих углов, следует, что слова «а также, если» следует понимать как «и если, кроме того,».
 2 года назад
комментировать
1

03.02.2020. Раскрываю секрет фокуса Михаила Белодедова.

Его шесть рисунков - это просто места для размещения числовых значений углов.

Здесь вы видите рисунки, которые могли бы сделать авторы решений задачи, исходя из полученных ими ответов.

Рисунок, соответствующий ответу Михаила Белодедова, смотрите в ответах ViktorNeVrach.

Ответы anomalia, bezdelinik 1 и jack21 можно признать правильными, если рассматривать совпадение вершин углов х и у, показанное на рисунке в условии задачи, как частный случай их взаимного расположения. Тогда можно утверждать, что задача имеет много ответов.

Если бы я был учителем (молодым и необременённым разного рода дополнительными обязанностями), я бы ещё покопался в решениях anomalia и jack21 чтобы понять, почему у них получились именно такие ответы.

На этом я заканчиваю своё участие в дискуссии. Программа сообщает, что лучший вопрос можно выбрать до 15 февраля. Буду до последнего дня ждать ответа, полученного без применения тригонометрии, аналитической геометрии и последовательных приближений.

1

Треугольники заданы углами, следовательно, подобные им можно строить по двум углам. Таковые имеются при основании треугольников АВС и АОС. В связи с чем, вариант построения единственно возможный.

На рис. 1 изображен треугольник соответственно условию и повернут для лучшего восприятия. Продлим отрезок АО до пересечения с СВ в точке D. Тогда угол АDС = 180⁰- (71⁰ + 8⁰ + 11⁰) = 90⁰, а (х⁰ + у⁰) = 90 - 33⁰ = 57⁰.

Как видим, высота АD делит треугольник АВС на левую и правую части, при этом углы в этих частях ни как не связаны между собой. Например, к левой части можно «пристроить» любой произвольный треугольник (рис. 2), имеющий другие углы. Здесь нет взаимосвязи углов. Но вот тригонометрическая согласованность углов есть, так как прямоугольные треугольники имеют общие стороны и пропорциональные отношения отрезков, то есть тангенсов улов. Тогда

В данном случае имеет место равного отношения тангенсов двух пар целочисленных углов.

1

Да, вычисления в некоторых ответах приведены будь здоров - под стать всероссийской олимпиаде по математике :) Но ведь решение же гораздо проще: высоты у треугольника пересекаются в одной точке - ортоцентре (свойство любого треугольника), поэтому на представленном рисунке отрезки АО, ВО и ОС являются высотами треугольника АВС. Таким образом, просто продлеваем высоту ВО до её пересечения с основанием АС (пусть точка их пересечения будет именоваться H). В результате получаем прямоугольный треугольник BHC с прямым углом H, из которого легко находится угол B (он же OBC), который равен 11 градусам. Ну а затем не составляет никакого труда найти остальные углы. В итоге получаем следующие результаты: x = 46 градусов, y = 11 градусов, d = 101 градус, с = 98 градусов.

Михаил Белодедов [26.1K]
Да, высоты треугольника пересекаются в одной точке. Но! Далеко не любые три луча из вершин треугольника, пересекающиеся в одной точке являются высотами. В конкретном данном случае только один луч является высотой.  2 года назад
jack21 [13.6K]
Да, Вы правы, я неверно рассуждал. А про какую высоту Вы говорите? Здесь же, получается, её нет  2 года назад
Михаил Белодедов [26.1K]
Луч АО перпендикулярен стороне ВС - это очевидно.  2 года назад
jack21 [13.6K]
Ну нет, так не пойдёт, нужно доказательство перпендикулярности. Также я посмотрел Ваш ответ и считаю его лучшим, поскольку решение верное (единственное, лучше расстояние АС взять равным не 1, а неопределённому b (для общего решения) - получатся те же значения), однако в задании указано, что нужно решить задачу без использования тригонометрических формул. Скорее всего, что-то упущено в условии. Но в любом случае я бы присудил ЛО Вам - надеюсь, что автор вопроса так и поступит  2 года назад
Михаил Белодедов [26.1K]
Я и говорю, что доказательство очевидно - 11+71+8=90. Если очень хочется - можно ввести неопределённый b, только он в конце вычислений везде сократится. А можно просто сообразить, что при пропорциональном масштабировании углы не изменяются  2 года назад
все комментарии (еще 1)
комментировать
1

Сколько решений имеет задача?

Для того чтобы однозначно задать треугольник на плоскости, должен быть известен один из трёх наборов данных:

  • три стороны треугольника,
  • две стороны и угол между ними,
  • сторона и два прилежащих к ней угла.

В условии задачи известны только углы. Этих данных не достаточно для точного решения. Удастся получить только решение зависящее от переменного параметра.

Решение:

1 вариант. С помощью геометрических построений.

Сделаем дополнительное построение:

Проведём прямую DE через точку O параллельно прямой AC.

Проведём прямую FG через точку B параллельно прямой AC.

После построений получим:

Найдём угол x:

Угол EOC = углу OCA = 8° ( накрест лежащие ).

Угол FBD = углу DAC = 44° ( накрест лежащие ).

Угол BOE = углу FBO = x + 44° ( накрест лежащие).

Угол c = угол BOE + угол EOC = x + 44° + 8° = x + 52°

x = c - 52°.

Найдём угол y:

Угол DOA = углу OAC = 11° ( накрест лежащие ).

Угол GBE = углу ECA = 79° ( накрест лежащие ).

Угол BOD = углу GBO = y + 79° ( накрест лежащие ).

d = угол BOD + угол DOA = y + 79° + 11° = y + 90°

y = d - 90°

d = 360° - 161° - c = 199° - c

y = 199° - c - 90° = 109° - c

Область определения переменной c :

Из существования треугольников ∆ BOC и ∆ BOA следует:

x > 0

Подставим полученное значение x.

c - 52° > 0

c > 52°.

y > 0

Подставим полученное значение y.

109° - c > 0

c < 109°

52° < c < 109°

Ответ: x = c - 52°, y = 109° - c, 52° < c < 109°.

2 вариант. С помощью свойств углов и треугольника на плоскости.

Угол AOC = 180° - 11° - 8° = 161° ( из суммы углов в треугольнике )

d = 360° - 161° - c = 199° - c

x = 180° - 33° - d ( из суммы углов в треугольнике )

Подставим значение d.

x = 147° - 199° + c = c - 52°

y = 180° - 71° - c = 109° - c ( из суммы углов в треугольнике ).

Из существования треугольников ∆ BOC и ∆ BOA следует:

x > 0

Подставим полученное значение x.

c - 52° > 0

c > 52°.

y > 0

Подставим полученное значение y.

109° - c > 0

c < 109°

52° < c < 109°

Ответ: x = c - 52°, y = 109° - c, 52° < c < 109°.

НикПетр [4.8K]
30.01.2020. Своими шестью треугольниками Михаил Белодедов подвёл меня к пониманию того, как могут сосуществовать правильный ответ и несколько неправильных под видом правильных. В первых четырёх строках своего ответа "Без ограничения общности..." он доказал, что существует единственный ответ на задачу. Прежде, чем подводить итог обсуждения, я посмотрю это неправильное решение в надежде найти тот момент, где оно становится неправильным.
Но лучше, если итог подведёт Михаил Белодедов. По-моему, он раньше меня понял то, чего не замечали сторонники множества решений. Он нарисовал шесть треугольников, ему и раскрывать секрет этого фокуса.
Жаль только, что никто не решил эту задачу без применения тригонометрии.
 2 года назад
Teabag [989]
**Во-первых:**
Введя дополнительное условие AC=1, Михаил Белодедов тем самым ограничил общность решения, так как координаты точек B и O в общем случае зависят от длины отрезка AC.
Пусть координаты точки А равны (0; 0), а точки С – (b;0), где b переменный коэффициент.
Тогда уравнение прямой АО: y = x tg11, а уравнение прямой СО: y = -x tg8 + b.
Прямые АО и СО пересекаются в точке О, координаты которой определяются системой из этих двух уравнений:
Ох = b / ( tg11 + tg8 )
Oy = Ox tg11
Совершенно аналогично, координаты точки В равны
Вх = b / ( tg44 + tg79 )
Вy = Вx tg44.
**А во-вторых:**
Михаил Белодедов ставит условие AC=1, а в вычислениях использует AC=tg8. В противном случае уравнение прямой СO имеет вид не y = (1-x) tg8, а y = -x tg8 + 1.
 2 года назад
Teabag [989]
Но если найдёте ошибки или неточности в моём решение, то буду рад их выслушать.  2 года назад
НикПетр [4.8K]
30.01.2020. Проверил решение до x = c-52°. Принцип понятен, дальше не проверял. Ответ Михаила Белодедова можно получить из полученных Вами уравнений, если положить с=68. Это убеждает меня в логичности Вашего решения.
Но что нового в Вашем ответе? Некая переменная «с», взявшая на себя обязанность указывать область существования х и у. А если сложить два Ваших уравнения, то получится уже известное нам х+у=57.
Задав АС=1, Михаил Белодедов не ограничил общность решения. Просто для применения аналитической геометрии ему нужна была фигура конкретного размера в плоскости координат. Он мог бы задать и АС=2, тогда все координаты в его решении были бы в два раза больше.
 2 года назад
Teabag [989]
Во-первых:
Переменная "с" - это величина угла BOC в треугольнике ∆BOC. Из данного решения получается, что варируя "с" можно получать разные значения x и y не нарушая другие условия задачи.
Отсюда следует:
1.) существование множества решений х и у,
2.) решение Михаила Белодедова частный случай решения при с=68°.
Во-вторых:
Задание было решить не применяя формулы тригонометрии. В моём решении используются только: треугольник, линейка и свойства углов. В этом отличие моего решения.
 2 года назад
все комментарии (еще 1)
комментировать
1

Я применил "тяжёлую артиллерию" м получил результат:

x = 16,000000 градусов;

y = 41,000000 градус.

Два факта вызывают удивление:

1) Как могли получиться настолько круглые числа?

2) Как эту задачу можно решить школьными методами, без применения тригонометрии либо аналитической геометрии?

НикПетр [4.8K]
Что задача имеет бесконечно много решений - это написали тоже Вы (этот Ваш комментарий исчез, вероятно, потому, что по моей просьбе был удалён мой ответ (рисунок с неправильными данными). Здесь Вы написали только ответ (один из возможных). Но познавательную ценность имеет решение. Меня, в частности, интересует, пришлось ли Вам в процессе решения прибегнуть к какому-то допущению.  2 года назад
Михаил Белодедов [26.1K]
Никаких допущений, ответ абсолютно точный. Это ещё больше увеличивает поразительность шести ноликов после запятой. Постараюсь в ближайшее время привести полное решение.  2 года назад
НикПетр [4.8K]
Вы не отрицаете, что задача имеет бесконечно много решений и Вас не удивляет, что Вы без всяких допущений получили один единственный ответ? Тогда объясните мне, пожалуйста, какая неведомая (не ведомая мне) сила повела Вас к единственному решению.

Ваше удивление целочисленностью мне чуждо. В условии задачи в каждом из треугольников имеются один или два целочисленных угла. Никто из решивших эту задачу не задавался в процессе решения дробными значениями углов, всё время оперировали с целыми числами. Сумма углов треугольника - целое число. Откуда же взяться дробным числам?
 2 года назад
Михаил Белодедов [26.1K]
Бесконечно много решений имеет не исходная задача, а система из четырёх уравнений, приведённая в вопросе. Что касается исходной задачи, там ответ единственен и это нетрудно доказать. Про целочисленность - когда после солидного количества вычислений с тангенсами целочисленных углов, корнями, произведениями и арккосинусами выдаётся целочисленный ответ, это неминуемо поражает.  2 года назад
НикПетр [4.8K]
Что ответ на задачу не единственен, показывает мой ответ, в котором два рисунка расположены один над другим.  2 года назад
все комментарии (еще 2)
комментировать
0

Сейчас я удивлю всех математиков, но задачу можно решить без тригонометрии и арифметики и еще чего-либо, все что вам понадобится - это точное построение треугольника, может ли такое сделать школьник? Может, но скорее всего результат не зачтут, так как слишком хитрый вариант решения я предлагаю. Однако студент, который так решит задачу - будет считаться чуть ли не профессором.

P.S. Иных методов решения без тригонометрии найти не удалось.

НикПетр [4.8K]
Возражение у меня единственное: Вы меня не удивили. Я давно сделал такой рисунок в графическом редакторе.
Предлагаю Вам этим же способом раскрыть секрет фокуса Михаила Белодедова (смотрите четыре первых треугольника из шести нарисованных им).
Я неоднократно поднимал вопрос на главную страницу в надежде, что придёт кто-то новый и получит правильный ответ (то есть такой, как у Михаила Белодедова и у Вас) без применения тригонометрии. Не произошло.
Не хочу больше занимать ваше внимание этой задачей. Пора примирить тех, кто считает, что задача имеет множество решений, с теми, кто за единственное решение.
P.S. Жаль, что за решение этой задачи не взялся Стрижак. Не помню, как латиницей пишется его ник, состоящий из имени (кажется, Василий) и фамилии. Судя по тем двум задачам, которые я видел в его вопросах, он бы решил эту задачу.
 2 года назад
VictorNeVr­ach [6K]
Мне удалось отыскать еще одно решение, но опять же не без помощи CAD-пакета, правда столкнулся с проблемой доказательства, но если принять как факт все решается в несколько простых арифметических формул.
P.S. Если докажу кое-что выложу новое решение.
 2 года назад
комментировать
0

Тоже самое решение, но полностью с доказательством, без применение тригонометрических формул, но с применением аналитической геометрии, как правило доступной только для школьников элитных школ в 10 и 11 классе.

P.S. Численное доказательство приведено относительно введенной прямоугольной системы координат.

0

Угол AOC = 180-11-8=161 (град)

Отсюда: d+c=360-161=199

x+y=180-(33+11+8+71)

x+d=180-33

c+y=180-71

Итого: четыре уравнения с четырьмя неизвестными.

Можно решать методом исключения неизвестнех. Или, как теперь учат в школе.

AlDron [11.3K]
Получились те же уравнения, что и в задании.  2 года назад
ВладимирЪ [91.2K]
А откуда быть другим? Все из того, что сумма углов треугольника - 180 градусов. А развернутый угол - 360  2 года назад
AlDron [11.3K]
Тоже вчера весь вечер думал, получилось, что углы в принципе могут быть любыми, ну, в пределах 57-147 и 57-109 (с и д), дальше не придумалось.  2 года назад
Александр Прыгичев [1.7K]
Четыре уравнения с четырьмя неизвестными... Не смешно
Например, решите 4 уравнения с 4 неизвестными
a + b + c + d = 4
a + b + c + d = 4
a + b + c + d = 4
a + b + c + d = 4
Так что у Вас получилось?
Ваши уравнения не независимы, а потому получить из них решение нельзя.
AlDron = Ваше утверждение ошибочно, решение единственно, но его найти только из уравнений для углов вряд ли можно. Необходимы какие-то другие соображения и дополнительные построения (если такие найдутся). По меньшей мере с помощью тригонометрии найти эти углы можно.
Легко понять, что продолжение отрезка из угла A является высотой. Приняв основание за 1 можно найти высоту и разбиение стороны высотой, а оттуда легко найти и угол (как arctg)
 2 года назад
ВладимирЪ [91.2K]
Сделайте x равным y, как на чертеже. Замените, как сказано в условии задачи.  2 года назад
все комментарии (еще 3)
комментировать
0

после анализа всех ответов у меня в итоге получилось следующее: решением являются любые углы X и Y, удовлетворяю щие условию X+Y=57. Думаю множество решений возникает, из-за того не задан ни один отрезок в треугольнике.

0

Если построить два несовпадающих центра ,то видны варианты углов.Центра пересечения высот и данного в условии.

Минимальный угол справа 11 ,при условии ,что центры совпадают.

Исходя из графического рисунка.

0

Итак более короткое и быстрое решение.

Введем сетку. Добавим необходимые построения, введя обозначения длин и измерив их соотношения, получим важное дополнение, которое позволяет легко решить задачу.

НикПетр [4.8K]
01.02.2020. Углы на этом рисунке, по-моему, нарисованы реальные. Отрезки а и 2а я измерил с помощью экраной линейки KRuler (раньше у меня была линейка Screen Ruler).
а равно 200 пикселей, а 2а - 340 пикселей.
 2 года назад
VictorNeVr­ach [6K]
Вы правы, я немного не то имел ввиду, сейчас переделаю. Кинул скриншот того, что имел ввиду в тему.  2 года назад
комментировать
0

Если построить два несовпадающих центра , то видны варианты углов.Центра пересечения высот и данного условия.Минимальный справа 11,при условии ,что центры совпадают.

0

Картинок а-ля bezdelnik 1 я могу нарисовать немерено:

Ответ нужно расценивать как комментарий. В комментарии невозможно вставить рисунки, увы...

НикПетр [4.8K]
29.01.2020 Спасибо, Вы добавили в задачу занимательности. Ожидаю от Вас разъяснения (хотя бы словесного) того фокуса, который Вы нам здесь показали. От нас требуется до 15 февраля завершить обсуждение.
Пятый и шестой рисунки забракованы: не выдержан угол АВС.
 2 года назад
Михаил Белодедов [26.1K]
Конечно, на рис 5 не 15 гр., а 14 гр., а на рис 6 не 156 гр., а 15 гр. - это рука дрогнула.  2 года назад
Михаил Белодедов [26.1K]
В пред. комментарии не 156, а 16...
Просто все мои нарисованные величины углов удовлетворяют исходной системе из 4-х уравнений. Как я уже говорил, система допускает бесконечное множество решений. Чтобы решение стало единственным, нужно эту систему дополнить ещё одним уравнением. Оно должно быть простеньким, и, наверное, следовать из того, что АО и ВС перпендикулярны. Интересно было бы на него посмотреть.
 2 года назад
комментировать
0

Попытайтесь применить свойство треугольника: все его высоты пересекаются в одной точке.

0

Взамен рисунка, в котором было написано х=АВО=57

НикПетр [4.8K]
02.02.2020. В верхней части рисунка ошибка: должно быть х=АВО=12, у=ОВС=45.  2 года назад
комментировать
Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация