Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
3

Найдите 2 натуральных числа сумма квадратов которых равна 2020?

vdtest [16K] более месяца назад

Чему равны А и В если А²+В²=2020?

2

Действительно, самый простой способ решения данного уравнения с двумя неизвестными - это метод перебора. Числа небольшие, есть еше и ограничения. Поэтому нужного результата можно достичь очень быстро. Итак, берем таблицу квадратов натуральных чисел в пределах 44 (так как квадрат 45 уже равен 2025) и начинаем перебирать. Лучше всего решать задачу вычитанием одного квадрата из 2020. Я таким образом нашел два решения данного уравнения. 2020-1764=256 и 2020-1444=576. Значит решением являются две пары натуральных чисел: 16 и 42, 24 и 38. Если же учитывать и симметричные варианты, то решений всего 4: (16;42), (42;16), (24;38), (38;24).

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
2

Перебор двузначных чисел, особенно, когда запрещено пользоваться телефоном или иными вычислительными средствами, достаточно трудоёмкий.

Поэтому вначале желательно упростить.

a^2 + b^2 = 2020

Судя по тому, что правая часть делится на 4, a и b чётные.

Доказать легко, но это отдельная тема.

Переобозначаем a=2m, b=2n

m^2 + n^2 = 505

Судя по тому, что левая часть нечётная, одно из слагаемых чётное, второе нечётное.

Переобозначаем m=2p, n = 2q+1

4p^2 + 4q^2 + 4q + 1 = 505

p^2 + q^2 + q = 126

Вполне определённо, что p не может быть нечётным

Перебирая чётные значения p (два, четыре, шесть, восемь, десять (далее бессмысленно)),

убеждаемся, что, если p=4, то q=10, что будет соответствовать a=16, b=42.

А при p=6 получится q=9, следовательно a=24, b=38.


Перебирая значения p, для нахождения q можно использовать квадратное уравнение

p=4; q^2 + q - 110 = 0; q1,2 = (-1 +- sqrt(1 + 440))/2

p=6; q^2 + q - 90 =0; q1,2 =(-1 +- sqrt(1 + 360))/2

Естественно, что отрицательные значения выбрасываем.

2

Корень из 2020<45, это значит что А, В<45.Далее:

А^2+В^2=2020

А^2-В^2=2х,где х-какое-нибудь число.Пусть А>В для определенности. Сложим равенства почленно:

2*А^2=2020+2х,далее

А^2=1010+х,отсюда 31<А<45.

Параметры большего числа определили.

32*32=1024

2020-1024=996

Корень из 996 равен 31,56 отсюда

0<В<32,параметры меньшего числа определили.

Больше ничего придумать не смог и используя подбор и то что сумма квадратов вторых цифр в А и В оканчивается на 0 можно определить 2 пары чисел (16'42), (24,38).

1

Сумма оканчивается на ноль, следовательно, два квадрата должны заканчиваться таким образом. чтобы сумма цифр тоже давала или ноль или десять. Найти два квадрата, оканчивающиеся "0", в указанном интервале нереально. Двумя пятерками - та же история. Значит, нужно искать окончания "4" и "6".

А дальше простая проверка перебором. Максимальное 44 не подходит - нет второго квадрата; 43 дает на конце девятку. А вот 42 в квадрате дает 1764, остается до 2020 ровно 256, а это квадрат 16.

Итак, нужная пара найдена - 16 и 42 (16 * 16 + 42 * 42 = 256 + 1764 = 2020).

Vasil Stryzhak [10K]
Это не единственная пара, есть еще одна.  более месяца назад
комментировать
Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация
OpenID