Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
0

Трапеция. Чему равны длины оснований?

Евгений Борисович [1.5K] 3 недели назад

Диагональ прямоугольной трапеции перпендикулярна боковой стороне и имеет длину 1.

Сумма длин боковых сторон равна 1.

Чему равны длины оснований трапеции?

P.S. Очень простая, можно сказать, устная задача.

бонус за лучший ответ: 7 кредитов хотите увеличить?
1

Пусть AD=x, ВС=у.

Проведём высоту СН из вершины прямого угла к нижнему основанию.

По Пифагору получаем:

АН=sqrt(1-a^2);

HD=sqr((1-a^2)-a^2)=sqr(1-2a);

Из подобия треугольников sqr(1-a^2)*sqr(1-2a)=a^2

Возведём последнее выражение в квадрат (1-a^2)*(1-2a)=a^4.

Получаем уравнение четвёртой степени относительно а : a^4-2a^3+a^2+2a-1=0

К сожалению, не нашёл способ выразить величину а в радикалах. Но Excel позволяет легко и быстро решить уравнение методом подбора.

Уравнение имеет два корня: а=-0,883 и а=0,469. Естественно, нас устраивает только положительный.

Итак, а=0,469.

Выразим площадь треугольника АСD двумя способами и приравняем их:

1*(1-а)=x*a.

Отсюда х=(1-а)/а=1/а-1=1/0,469-1=2,132-1=1,132

Из пропорции получаем: 1/х=у/1, у=1/х=0,883.

Итак, х=1,132, у=0,883, а=0,469.

Евгений Борисович [1.5K]
Да, можно выразить в радикалах.  3 недели назад
комментировать
0

Получаем BC=√(1-a^2); AD=√(1+(1-a)^2)=√(2-2a+a^2); BC+AD=√(1-a^2)+√(2-2a+a^2);

ЗЫ. Пораскинув мозгами на все четыре стороны, продолжим.

Записываем тождество:

BC/AC=AC/AD→DC*AD=1;

Подставим значения:

BC=√(1-a^2); AD=√(2-2a+a^2)→√(1-a^2)*√(2-2a+a^2)=1, обе части возводятся в квадрат,

(1-a^2)*(2-2a+a^2)=1→а*(2+а)+a^­3*(2+a)-1=0; a=0,37 →0,37*2,37+0,37^3*2,­37-1=0,003

BC=√0,8631=0,93; AD=√1,3969=1,18

По моему так.

0

Продолжим решение задачи.

Проведём высоту из т. C (CH)

Тогда HD"2=(1-a)"2-a=1-a"2-a"2=1-2a"2, откуда HD=кор кв (1-2a"2)

Соответственно, AH"2=1"2-a"2=1-a"2, откуда AH=кор кв (1-a"2)

Далее AD=AH+HD

AD=кор кв(2-a"2)= кор кв (1-a"2)+ кор кв (1-2a"2), откуда кор кв (1-2a"2)=0, a"2=0,5

Тогда AD=кор кв (2-0,5)=кор кв 1,5=1,23 приблизительно.

BC=кор кв (1-0.5)=кор кв 0,5=0,71 приблизительно.

0

Для решения задачи воспользуемся теоремой Пифагора: "Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов".

AD"2=AC"2+CD"2=1"2+(­1-a)"2=1+1-a"2=2-a"2

AD=кор кв(2-a"2)

AB"2+BC"2=AC"2

BC"2=AC"2-AB"2=1"2+a"2

BC=кор кв (1+a"2)

Ответ: BC=кор кв(1=a"2)

AD=кор кв (2-a"2)

Евгений Борисович [1.5K]
Нужны конкретные значения. Вам осталось найти а.  3 недели назад
комментировать
0

Из △ABC ∾ △DCA => x = a/(1 − a) <=> x − a = xa <=> 1 − 2ax = (ax)². Откуда ax = √2 − 1.

Из a/(1 − a) − a = √2 − 1 находим a, затем из △DCA — b:

a = ½·( √2 − 1 + √(2√2 − 1) ).

b = ½·( 1 − √2 + √(2√2 − 1) ).

Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация
OpenID