Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
2

Задача. Каков перепад высот, измеренный с помощью нити и золотого кольца?

Vasil Stryzhak [9.4K] 2 недели назад

На дачном участке решили построить дом. Для закладки фундамента требовалось определить перепад высот. Ввиду того, что уровень забыли взять, решили воспользоваться нитью и золотым кольцом.

На удаленности соответствующей длине фундамента забили две вехи, возвышающиеся на одинаковую высоту. Измеренное расстояние между вершинами вех составило 6 м. За вершины вех закрепили нить, на которую подвесили золотое кольцо. При постукивании по кольцу, оно начало скользить вдоль нити, пока не приняло наиболее низкое положение. В результате расстояние кольца до вершин вех составило 4 и 3 метра. Нить под весом кольца натянулась без удлинения и провисаний под собственным весом.

бонус за лучший ответ (выдан): 25 кредитов
вопрос поддержали: smog2605 20 кредитов
bezdelnik [31.7K]
В каком направлении измеряли расстояние между вершинами вех ?, вдоль по склону или перпендикулярно склону ?  2 недели назад
Vasil Stryzhak [9.4K]
Определяли величину склона вдоль одной из сторон фундамента.  2 недели назад
Nasos [53.5K]
Не понял. Если нить не растягивалась, то как она из начальной длины в 6м стала длиной в 7м? Нить растянулась на 16.7%  2 недели назад
Nasos [53.5K]
А-а-а, понял. Нить изначально была длиной в 7м.  2 недели назад
Nasos [53.5K]
Ещё нужно знать высоту вешек, ибо если вешки высотой 3м, то перепад высот может быть разным - кольцо, коснувшись земли, далее падать не будет.  2 недели назад
все комментарии (еще 1)
комментировать
3

По началу не думал что удастся решить задачу, по скольку не знаком с системой провисаний канатов при разных высотах крепления. Силы и вектора меня не очень радуют.

Но попробуем по рассуждать. Допустим у нас есть провисшая цепь. По всей видимости она будет себя вести примерно так как нить с грузом (кольцом). С той разницей, что нить теоретическая и следовательно соединяет точки по прямой.

Столбики одинаковой высоты и нижняя точка цепи, а также углы будут симметричны столбикам и горизонтали.

Поставим рядом с цепью дополнительно еще один столбик и закрепим к нему одно звено.

Очевидно, что ничего не изменится. А теперь удалим не нужный участок цепи.

И опять же ничего не изменится. Левый кусок сохранит свое положение и форму, хотя точки крепления находятся на разных высотах.

Следовательно, любая провисшая структура будет иметь форму и размеры так как будто она подвешена на две опоры одинаковой высоты (от горизонтали) по большей высоте.

Расстояние от нижней точки до столбиков будет различным, но вот углы при нижней точке справа и лева будут равны. Обозначим их бета.

Мы имеем полностью определенный треугольник со сторонами 6;4;3. По теореме косинусов находим угол альфа. Далее угол бета и разницу высот верхней точки столбиков, с учетом того, что они забиты на одинаковую высоту от грунта.

Что то мне подсказывает, что эту задачу можно решить через пропорции, с учетом наличия подобных треугольников, но оставлю это для других авторов.

Ссылка на макет

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
Евгений Борисович [1.4K]
Теорема Пифагора дважды:

h² + x² = 1
h² + (7x)² = 6²
Откуда
h = √39/12.
 2 недели назад
Vasil Stryzhak [9.4K]
smog2605. Идея задачи основана на том, что углы при нижней точке справа и слева равны. Вы привели не совсем строгое с физической точки зрения доказательство, но весьма убедительное и верное. Чем меня весьма удивили. Дальнейшие вычисления уже дело второстепенное, вариантов несколько. Ваше решение в данном случае довольно рациональное.  2 недели назад
Rafail [127K]
Решение конечно красивое, но в принципе неверное. Цепную линию можно было бы рассматривать, если бы была только нить, без кольца. В условии же задано, что "Нить под весом кольца натянулась без удлинения и провисаний под собственным весом". Касательные в нижней точке цепной линии горизонтальны, и углы бэта будут равны нулю. А в данном случае кольцо изменит форму нити, и она не будет цепной линией. Более того, утверждение, что углы между фрагментами линий по разные стороны кольца и горизонталью - равные - бездоказательное, и на этом нельзя строить решение.  2 недели назад
Rafail [127K]
Евгений Борисович. Краткость, конечно, сестра таланта, но не все же такие талантливые, как Вы. Вы бы пояснили для нас, бесталанных, откуда взялось уравнение (h² + x² = 1)?  2 недели назад
smog2605 [13.5K]
Решение как раз верное, а вот доказательство равенства углов не совсем научное. Безусловно, для цепной линии, непосредственно в нижней точке, касательная даст нулевой угол. Отступите от нижней точки вправо и влево на одинаковые дельта эль и углы будут отличные от нуля и равны.  2 недели назад
все комментарии (еще 8)
комментировать
3

Вершины вех можно представить фокусами эллипса F₁ и F₂, а фрагменты натянутой нити F₁О и F₂О – фокальными радиусами. Действительно, перемещая кольцо вдоль нити, опишем в плоскости вех эллипс. Горизонтальная линия ВС перпендикулярна вехам и касается эллипса в самой нижней точке его, где расположено кольцо. Касательная к эллипсу имеет равные углы с фокальными радиусами точки касания, согласно теореме о зеркальном свойстве эллипса. Тогда имеем равенство углов F₁ОВ и F₂ОС. Примем х = ВС, на основании треугольников F₁AF₂ и F₁ВО составим систему уравнений

h² + x² = 36,

(4h)² + (4х/7)² = 16.

Откуда h = √(13/48) ≈ 0,5204165 м.

bezdelnik [31.7K]
Очень странное и не верное решение,хотя бы потому что , если подставить в уравнение h² + x² = 36 ваш окончательный ответ, то получается следующее; 13/48+x^2=36, x^2=36-13/48=(1728-1­3)/48=1715/48=35,729­..., а х=5,977... а не 0,5204165.  5 дней назад
Rafail [127K]
Вот этот момент "Горизонтальная линия ВС ... в самой нижней точке его, где расположено кольцо." не обоснован, т.е не доказано, что кольцо находится в самой нижней точке.
Мне кажется, чтобы "доказать" равенство углов F1OB и F2OC, можно применить следующее рассуждения (слово доказать взял в кавычки, так как не уверен, что это рассуждение может служить доказательством.).
Возьмём нить длиной 8 м. Один конец закрепим в точке F1, а второй в некой точке F3, которая находится на одной горизонтали с F1. Если кольцо может скользить по нити без трения, то оно "найдёт самую нижнюю точку как раз посередине нити. Т.е. F1O=F3O. Тогда треугольник F1OF3 - равнобедренный, и углы при его основании равны, т.е. OF1F3=JFF1. Проведём через точку О горизонталь ВС. Поскольку мы условились, что точки F1 и F3 на одной горизонтали, то ВС - параллельна F1F3, а значит и углы F1OB и F3С - равны. Дальнейшее всем понятно.
 5 дней назад
Vasil Stryzhak [9.4K]
bezdelnik. Это Ваш комментарий к моему ответу странный. Очевидно, Вы не всегда верно оцениваете решения, будьте внимательны. Здесь х - расстояние между вехами, а h - перепад высот.
Так что,
13/48 + 1715/48 = 36,
решение верное.
 5 дней назад
bezdelnik [31.7K]
На вашем рисунке Х это ВС=AF2. AF2 это катет прямоугольного треугольника AF1F2 и он н может быть равным 36, он равен √(36-h^2), то-есть меньше 6, поэтому ваше решение странное и не верное.  5 дней назад
Vasil Stryzhak [9.4K]
Rafail. Мне не нужно доказывать, что кольцо находится в самой нижней точке. Согласно условию оно находится именно там. Любое тело, если лишить трения скользит по наклонной поверхности (кольцо по эллипсу), занимая самое нижнее положение.
Если через произвольную точку эллипса провести касательную, а из фокусов опустить два перпендикуляра к ней, то получим схему аналогичную рисунку. Выше касательной находится все точки эллипса, ниже ни одной. Тогда относительно вертикали, параллельной перпендикулярам, точка занимает наиболее низкое положение. Следует лишь указать, что горизонталь параллельна касательной. В нашем случае вешки вертикальны, стало быть, горизонтальная линия перпендикулярна им, в результате чего параллельна касательной. Далее зеркальное свойство эллипса.
 4 дня назад
все комментарии (еще 1)
комментировать
2

И так, взяли верёвку, длиной в 7 метров и привязали её к вешкам, отстоящим на 6 метров. У верёвки есть 1 метр для прогиба.

Если перепад высот отсутствует, то кольцо провиснет точно посередине вешек, тогда от него то вершин вышек будет по 3.5 метра. Прогиб верёвки в районе висения кольца составит ~1.8 метра (от линии, соединяющей вершины вешек).

По мере увеличения перепада высот кольцо будет смещаться в сторону уклона, а прогиб верёвки будет уменьшаться. Когда перепад высот достигнет состояния ~1.8 метра, то кольцо скатится к вершине низкой вешки.

Так, как по условия задачи кольцо висит на расстоянии 4 и 3 метра, что составляет отношение 3/4, то и перепад высот будет 3/4 от 1.8 метра, т.е. ~1.35 метра.

Евгений Борисович [1.4K]
Неверно.  2 недели назад
комментировать
1

Чтобы кольцо скользило вдоль нити вершина одной вехи должна находиться выше другой. Точку на поверхности земли в которую вбивали верхнюю веху обозначим В, а нижнюю Н. Расстояние от В до Н измеренное по поверхности земли будет перепадом высот П. Расстояние от остановившего кольца до вершин вех составило 4 и 3 метра, но не указано до какой вершины 4 м, а до какой 3 м, причём измеренное расстояние между вершинами вех составило 6 м, что на 1 м меньше расстояния между. Следовательно расстояние между вершинами измеряли не поверхности земли, а вероятно по горизонтали, обозначим его ВГ, тогда искомый перепад высот Х будет равен ГН. В результате имеем прямоугольный треугольник ВГН и перепад высот по теореме Пифагора Х=ГН=√(7^2-6^)=3,6..­. Следует заметить что кольцо будет скользить по наклонной нити без остановки до вершины нижней вехи а не где-то между вершинами. Ответ: перепад высот можно считать равным 3,6 метра.

Евгений Борисович [1.4K]
ЧуднОе рассуждение!  2 недели назад
bezdelnik [31.7K]
Что здесь чуднО ?  2 недели назад
Евгений Борисович [1.4K]
Логика ...
Я написал решение в комменте выше.
 2 недели назад
bezdelnik [31.7K]
В вашем комменте нет логики, непонятно что значит "Теорема Пифагора дважды". По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы и если h=√39/12 то x²=1-39/12= -2,2, тогда х мнимое число и не равно 1. Что такое х в вашем понимании.  2 недели назад
Евгений Борисович [1.4K]
Ерунду не пишите. √39/12 ≠ √(39/12).
Когда что-то не ясно, можно спросить, а не ...
 2 недели назад
все комментарии (еще 1)
комментировать
Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация
OpenID