Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
1

Как доказать то, что множество простых чисел бесконечно?

titekse [1.5K] 1 неделю назад
4

Такое доказательство (одно из существующих) дал ещё Евклид, и основано оно как раз исследовании произведения всех простых чисел.

Ну ещё раз: пусть простых чисел - конечное количество, и пусть Р - произведение всех простых чисел, от первого до n-го. И рассмотрим число Р+1.

Возможны два варианта.

Либо Р+1 - простое число, но тогда мы сразу приходим к противоречию с исходным предположением о конечности множества простых чисел. Оказывается - ни фига, есть ещё одно...

Либо Р+1 - не простое число, но тогда его можно разложить на простые множители, которые, по предположению, должны быть из нашего конечного набора. Ну пусть среди таких множителей есть и число k. Коль скоро и Р делится на k (Р ведь - произведение всех-всех-всех простых чисел, включая k), и Р+1 делится на k, то на это же k должна делиться и разность двух чисел. Только вот разность эта равна 1, а 1 не может делиться ни на что, если мы собираемся оставаться в рамках целых чисел.

Значит, предположение о конечности набора простых чисел неверное. Вся любовь.

2

Давайте доказывать методом от противного. Пусть множество простых чисел конечно. И это множество:

prime = {P1, P2, ..., Pn}. Тогда посмотрим на число: A = P1 * P2 * ... * Pn + 1. Утверждается, что число A больше максимального числа из множества Prime, потому что все числа из множества Prime больше 1. Также утверждается, что число A простое. Докажем от противного. Пусть это не так. Значит оно делится на какой-то из элементов множества Prime - число p, однако число (A - 1) тоже делится на p. При этом p > 1, противоречие. Таким образом, число A - простое и оно больше всех тех, которые мы уже рассмотрели. Значит мы

всегда можем "продлить" ряд простых чисел. Таким образом, множество простых чисел бесконечно. Что и требовалось доказать.

Евгений Борисович [1.3K]
Неверно.  1 неделю назад
Esketit [4.7K]
Почему?  1 неделю назад
Евгений Борисович [1.3K]
Ну, не знаю почему ...
Наверное, потому что не понимаете, что пишите.
С какой стати А простое?
 1 неделю назад
Esketit [4.7K]
Я всё понимаю. Может вам на примере будет проще. Пусть у нас ряд простых чисел такой: 2, 3, 5.
Тогда моё число A = 2 * 3 * 5 + 1 = 31. Типо лол. A - всегда простое.
 1 неделю назад
Евгений Борисович [1.3K]
Ерунду не надо городить. Не смешите ... Не выставляйте себя полным невеждой.
1 + 2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 = 30 031 = 59*509.
 1 неделю назад
комментировать
0

То, что множество простых чисел бесконечно доказывается методом от противного. Допустим что множество простых чисел конечно и последнее простое число N. Прибавим к нему 1, тогда при делении числа N+1 на любое простое число всегда будет оставаться остаток 1. Следовательно число N+1 тоже новое простое число и так до бесконечности.

Евгений Борисович [1.3K]
Неверно.  1 неделю назад
комментировать
Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация
OpenID