Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
5

Школьная задача "Как провести линию"?

bk.ru [8.5K] 3 года назад

Здесь любят давать задачи на построение. Добавлю и я свои «пять копеек». Школьная задача на построение циркулем и линейкой. «Через точку, находящуюся внутри, угла проведите прямую так, что бы её отрезок, отсекаемый сторонами угла, делился этой точкой пополам». Т.е. должно получиться что-то вроде этого.

Угол не обязательно острый. Может быть и тупым. И еще одно. На этом проекте было высказано мнение, что если построение циркулем и линейкой возможно, то его можно сделать только циркулем. Было бы интересно увидеть такое решение. Понимаю, что последнюю операцию, а именно проведение требуемой линии без линейки выполнить не удастся, поэтому достаточно будет лишь найти, как же эту линию проводить, а проводить её будет не обязательно.

бонус за лучший ответ (выдан): 50 кредитов
категория: образование
Евгений Борисович [2.2K]
"Понимаю, что последнюю операцию, а именно проведение требуемой линии без линейки выполнить не удастся".
Как раз не понимаете.
Любое построение — всё, что можно построить с помощью циркуля и линейки, может быть построено с помощью одного циркуля. То есть, можно провести одним только циркулем ВСЕ такие операции, для которых могла бы потребоваться линейка.
 3 года назад
bk.ru [8.5K]
Верно, не понимаю, как без линейки провести прямую линию через две точки. Будьте добры, расскажите.  3 года назад
Евгений Борисович [2.2K]
Вы хотя бы почитайте что-нибудь о построениях. Может вопросов не будет.
Вы же не в теме ...
 3 года назад
bk.ru [8.5K]
Знаете, уважаемый Евгений Борисович, смотрю на Ваши замечания и прихожу к выводу, что спор наш скорее терминологический, нежели математический. В Вашем понимании «провести прямую», как требуется в задаче, это найти пару точек (в задаче достаточно одной), которые лежат на этой прямой. И все. В моем же понимании «провести прямую», это не только найти точки, но и приложить к ним линейку и провести по этой линейке линию.
Да, конечно, в теореме Мора-Маскерони, в конце записано: «при этом мы считаем прямую ПОСТРОЕННОЙ, если найдены хотя бы две точки этой прямой». Возможно это не совсем точный перевод и слово «построенной» следовало бы заменить каким-нибудь другим, которое бы более точно выражало суть
 3 года назад
bk.ru [8.5K]
Во всяком случае, я понял, что, по крайней мере, в середине прошлого века некоторые математики были не согласны с терминологией (или с предлагаемым переводом)используем­­ой авторами теоремы. Так, например, в учебном пособии «Геометрические построения на плоскости» Аргунов Б.И; Балк М.Б. Учпедгиз, 1957г. На стр. 232 в объяснениях теоремы Мора-Маскерони читаем: «Условимся в этом параграфе называть прямую "известной­", если построены какие-либо две её точки. … Ясно, что «известная» прямая не является построенной: она может быть построена, если мы располагаем линейкой, но циркуль не дает возможности построить «известную» прямую».  3 года назад
все комментарии (еще 3)
комментировать
6

Как вариант:

  • представим, что точка К - середина будущей стороны АВ будущего треугольника АВО. точка О - известная вершина будущего треугольника АВО. точка А и точка В - искомые вершины будущего треугольника АВО;
  • отрезок, проведённый через середину одной из сторон треугольника (АВ) параллельно другой стороне (ВО), делит третью сторону (АО) пополам;
  • то есть точка К - середина АВ, через точку К проводим прямую, параллельную лучу "в" (стороне ВО);
  • эта параллельная прямая делит третью сторону (АО) треугольника пополам (точка М);
  • находим точку А, отмеряя на луче "а" отрезок АМ равный отрезку МО;
  • чертим прямую, проходящую через точку К и точку А и получаем точку В.

Искомый отрезок АВ найден. Точка К делит этот отрезок пополам.

моё фото

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
bk.ru [8.5K]
Здорово!!! И главное элементарно просто. Вот уж воистину: "Гениальное всегда просто".  3 года назад
smoky5 [14.8K]
Спасибо )  3 года назад
Nasos [148K]
Красиво. А как быть с вариантом решения без линейки? Потяните? Я пока бессилен...  3 года назад
smoky5 [14.8K]
В этом решении линейка была использована только для проведения прямых линий. Построение выполнено было только циркулем.  3 года назад
Nasos [148K]
Линейкой по условии задачи можно было провести только финальную прямую - АВ. А как Вы без линейки нашли точку М?  3 года назад
все комментарии (еще 6)
комментировать
7

Сразу предупреждаю - решать задачу буду исходя из логики. Если у нас есть циркуль и линейка, то ими и будем действовать. Учтем, что точка у нас располагается внутри именно угла, а не треугольника, это означает, что линии образующие угол, не имеют финальной точки. Предлагаю точку сделать центром круга, радиусом которого будет служить расстояние до той из сторон угла, которая расположена на большем расстоянии от точки. Вписав в угол круг, мы в любом случае получим три точки соприкосновения контура круга с линиями угла. Через две из них с помощью линейки можно будет провести линию, на которой будет расположен тот самый отрезок.

Nasos [148K]
В этом случае будем иметь три такие точки - одну касательную на одном луче и две, как концы хорды, на другом луче. И что? Где тут решение?  3 года назад
Jean Montibus-Citri [163K]
одна из касательных точек станет той, через которую можно провести линию, взяв за начало ту, от которой мы писали круг. Вот где решение!  3 года назад
Nasos [148K]
Эта касательная и есть та точка, с которой Вы начинали рисовать окружность.  3 года назад
bk.ru [8.5K]
Уважаемый Jean Monti­bus-C­itri, надеюсь Вы теперь понимаете, что Ваш ответ не верен. Посмотрите на рисунок в вопросе, мысленно проведите перпендикуляр из заданной точки на нижний луч. Полагаю Вам и без построения видно, что точка касания окружности в вашем построении не может являться точкой, через которую пройдет искомая линия. Точка касания окружности лежит левее истинной точки пересечения искомой линии с лучом.
К сожалению, этот ответ незаслуженно имеет бОльший рейтинг.
 3 года назад
Jean Montibus-Citri [163K]
bk.ru, нормальные авторы пишут свои замечания и пожелания в личку, и я никогда не оставляю их без внимания. Вас же терзает зависть к рейтингу - продолжайте портить себе карму, или прислушайтесь к моему совету - есть вопросы, претензии, предложения - пишем в личку и утрясаем вопрос. Ошибаться может каждый, завидовать - удел сам знаете кого.  3 года назад
комментировать
7

Обещанное фото построения.

Расстояния от точки до сторон угла равны.

Nasos [148K]
Опишите, как проводите параллель через заданную точку.  3 года назад
bk.ru [8.5K]
Присоединяюсь к просьбе Nasos. Уважаемая Раиса Андрианова, пожалуйста, посмотрите мой комментарий к ответу smoky­5.  3 года назад
Раиса Андрианова [37.5K]
Так это же просто. Чтобы провести параллельную прямую стороне АС нужно измерить угол АВD (допустим он равен 30 градусов), теперь в точке В на прямой АВ отмечаем такой же угол, проводим под этим углом прямую до пересечения со стороной угла , в пересечении ставим точку D. Аналогично со второй параллельной прямой. Только в первом случае образуется(предполаг­аемый) треугольник АDВ, а во втором случае треугольник АСВ.  3 года назад
bk.ru [8.5K]
Уважаемая Раиса Андрианова, это действительно просто. Вы это увидите, когда найдете (узнаете) правильное решение. А пока, увы... Во-первых, до проведения прямой ВД у нас нет угла АВД. Поэтому измерить этот угол, а потом отложить его откуда-то мы не сможем. И не сможем не только потому, что пока его нет, а и потому, что у нас нет транспортира. У нас имеется линейка (грубо говоря - прямая доска) и циркуль. Все.  3 года назад
Раиса Андрианова [37.5K]
В точке В начертить окружность радиусом 1 см и отмерить циркулем от прямой АВ(по окружности) угол нужного градуса, провести через намеченную точку прямую до пересечения со стороной угла.  3 года назад
все комментарии (еще 2)
комментировать
6

Еще немного поломала голову. Может такой способ решения второй задачи подойдет?

Чертим угол с вершиной А. Ставим произвольно точку М внутри угла. Иглу циркуля фиксируем в точке М, а карандаш циркуля ставим к верхней стороне угла, чертим окружность. На пересечении окружности с нижней стороной угла отмечаем точку В. Проводим луч через точки В и М до пересечения с верхней стороной угла. СМ = МВ = радиус.

bk.ru [8.5K]
Увы, опять не то. Посмотрите на рисунок в вопросе. Если мысленно провести окружность с центром в заданной точке, и касательно к горизонтальному лучу, то будет "видно" (мысленно), что точка касания расположена левее точки пересечения построенной линии с горизонтальным лучом. И еще попробуйте применить такую методику, если точка находится не в М, а, например, на середине отрезка МС.  3 года назад
Раиса Андрианова [37.5K]
Пока сдаюсь, но может быть еще подумаю.  3 года назад
комментировать
4

Можно выполнить эту задачу через построение параллелограмма.

"У параллелограмма диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам".

  • нам дан угол, образованный лучами а и в, исходящих из точки О;
  • также дана точка К принадлежащая данному углу;
  • строим ещё один луч, который начинается в точке О и проходит через точку К;
  • на луче ОК отмеряем отрезок КМ равный отрезку ОК;
  • через точку М строим прямые, параллельные лучу а и лучу в;
  • получаем параллелограмм ВМАО с диагоналями МО и ВА, которые пересекаются в точке К;
  • ВК=КА;
  • точки В и А - искомые точки пересечения со сторонами данного угла.

моё фото

В школе на уроках мы с учителем (чтобы было быстрее) делали подобные построения немного проще:

  • через точку К, принадлежащую углу, проводили линию, перпендикулярную любой стороне угла (у нас точка М);
  • на этой прямой откладываем отрезок КС, равный отрезку КМ;
  • через точку С проводим линию, параллельную лучу а;
  • эта параллельная пересечётся с другим лучём угла (у нас луч d) в точке А;
  • проводим прямую через точки А и К до пересечения с лучём а;
  • точки А и В - искомые точки на сторонах данного угла.

моё фото

Заранее прошу прощения, если объяснения получились не совсем понятными.

bk.ru [8.5K]
Все понятно и все верно, НО... В школе привыкли, говоря: "Проведем линию параллельную...­­­" какой -либо линии, не объяснять, как же это сделать. Проводят просто на глазок или по клеточкам. Так, а как же её, все таки, провести построением?  3 года назад
smoky5 [14.8K]
Линию, параллельную данной, в школе мы строили так:
1. на данной линии ставили две отличные друг от друга точки, из них строили два, одинаковой длины, перпендикулярных этой прямой отрезка, через конечные точки этих отрезков проводили прямую, параллельную первой;
2. строили с помощью двух линеек. одна из них должна быть треугольной. треугольник одной стороной (катет) прикладываем к данной прямой, другую линейку приложив к другой стороне треугольника (другой катет), фиксируем рукой. треугольник передвигаем на нужное расстояние, скользя по зафиксированной линейке. проводим линию, параллельную первой.
 3 года назад
smoky5 [14.8K]
Перпендикуляр строится:
1. с помощью прикладывания треугольника (прямой угол на линейке);
2. с помощью транспортира (отмеряем угол 90 градусов);
3. с помощью циркуля: на прямой ставим начальную точку, от этой точки с помощью циркуля с разные стороны отмеряем одинаковые отрезки, ставим ещё две точки. из этих уже новых точек с помощью циркуля находим точку пересечения двух одинаковых окружностей, чуть больше, чем было. эта точка (на пересечении) будет находиться над самой первой начальной точкой. соединяем их, получаем перпендикуляр.
 3 года назад
bk.ru [8.5K]
Да, конечно, можно построить третьим способом. Вот только построение одного перпендикуляра потребует проведения, по меньшей мере, четырех действий с циркулем (4 шага, ни транспортира, ни прямоугольного треугольника у нас нет). Итого два перпендикуляра - 8 шагов. Проведение параллельной линии - шаг девятый. А ведь можно это сделать за 4 шага, если первым шагом считать выставление нужного раствора циркуля (берется с чертежа построения).  3 года назад
bk.ru [8.5K]
Впрочем не важно, Ваше решение и дополнение к нему верны. Плюс Вам я уже поставил.  3 года назад
все комментарии (еще 1)
комментировать
3

Путем логического мышления я(кажется) смогла решить и вторую задачу.

Внутри угла с вершиной А ставим произвольно точку М. Иглу циркуля фиксируем в точке М, а часть циркуля с карандашом соединяем с верхней стороной угла чертим окружность. На нижней стороне угла ставим точки в местах пересечения Е и С. Затем ставим иглу циркуля в точку Е и чертим вторую окружность такого же диаметра. На верхней стороне угла в пересечении ставим точку D. Проводим прямую через точки D, М, С. У нас получились равные отрезки: DМ = МС.

bk.ru [8.5K]
Извините, уважаемая Раиса Андрианова, опять не то. Окружность с центром в точке М, если правильно понимаю, касается наклонного луча. Если это так, то её радиус не равен МД. Следовательно, МС не равно МД.  3 года назад
Раиса Андрианова [37.5K]
Верно, упустила. Если перенести точку D немного правее , туда где соединяется окружность с верхней стороной угла, то все бы получилось, но тогда прямой линии не будет. Всю голову уже сегодня сломала с этими задачками. Возможно на вторую задачу вообще ответа нет. Простите.  3 года назад
bk.ru [8.5K]
Знаете, уважаемая Раиса Андрианова, я то же думаю, что задача не имеет решения с одним циркулем. Но дело в том, что мнение о возможности решения подобных задач только с одним циркулем, высказал, как мне кажется, профессиональный математик, или человек, который с математикой на "ты". Впрочем, профессиональные математики то же люди и могут ошибаться. А извиняться Вам не за что. Ведь Вы же не обещали непременно решить задачу. Это я приношу Вам извинения, эа то, что вот так, невольно, отнял у Вас время. С искреннем уважением.  3 года назад
комментировать
2

Даю свой вариант решения, без доказательства, ибо моя голова пока не варит для его генерации. Решение, как гипотеза.

И так, пусть точка K внутри угла с вершиной в точке O. Построим из точки K перпендикуляры KA и KB на лучи угла. Отрезок OA перенесём на другой луч, получим OA2, точно так же поступим с отрезком OB, перенеся его, как OB2. Прямая A2B2 будет искомой прямой, точка K поделит A2B2 на два равных отрезка KA2 и KB2.

Почему? Мне интуитивно ясно, что вращая A2B2 вокруг точки K, мы будем получать отрезки KA2 и KB2 разной длины. При этом, вращая A2B2 по часовой стрелке, мы будем уменьшать KA2 и увеличивать KB2. Вращая в обратную сторону - будем получать наоборот. И только, когда OA2 и OB2 станут обратно пропорциональны длинам от точки K к лучам угла, наступит равенство KA2 и KB2.

Может, я и не прав, не настаиваю. Просто гипотеза.

bk.ru [8.5K]
Уважаемый Nasos, Вы меня удивили. Видя, как четко, по делу и правильно Вы оцениваете предлагаемые решения, был уверен, что Вы его (правильное решение), нашли. Похоже Вы пока действительно, извините, не в форме. При вращении А2В2 вокруг К, например, по часовой стрелки, КА2 и КВ2, будут оба увеличиваться. При вращении против - уменьшаться, но не все время. Дальше, полагаю, Вы и сами сообразили, что это несколько не то. Ещё раз, извините, но, честное слово, ни кого не хочу обижать.  3 года назад
Nasos [148K]
Да, без обиды. Какие обиды. Деменция подступает. А раньше, по молодости, помню...
решал и такую заумь - циркулем и линейкой провести из данной точки (вне развёрнутого угла и не лежащей на продолжении биссектрисы) секущую к углу так, чтобы полученный треугольник имел наперёд заданный периметр (периметр задавался отрезком). А сейчас - пока, увы и ах...
 3 года назад
комментировать
2

Дан угол с вершиной А, внутри угла ставим точку М внутри его. От вершины угла через точку М проводим прямую. С помощью циркуля отмеряем расстояние от А до М и полученное расстояние отмеряем на прямой от точки М на проведенной нами прямой, ставим точку В. С помощью линейки проводим прямую параллельную одной из сторон угла, отмечаем точку D на пересечении прямой со стороной угла. Проводим из точки В параллельную прямую другой стороне угла,отмечаем точку С на пересечении прямой со стороной угла. Проводим прямую от точки С до точки D через точку М.

СМ = МD.

Без линейки:

Чертим угол с вершиной А. Ставим точку D внутри его. Циркулем отмеряем расстояние от точки А до точки D (радиус). Циркулем из точки D чертим окружность, в местах пересечения окружности со сторонами угла отмечаем точки С и В.

МС = МВ.

Nasos [148K]
По первому решению - как станете проводить параллельную прямую через заданную точку? Опишите.
По второму решению - прямая CB не всегда будет проходить через точку D
 3 года назад
Раиса Андрианова [37.5K]
По первому решению: Через заданную точку нужно провести прямую параллельно одной стороне угла и пересекающую другую сторону угла, в пересечении поставить точку. Таким же образом поступить с другой стороной.
По второму решению, простите, ошиблась, на листике проставила одни буквы, а приблизительный рисунок нашла в интернете с другими. Поэтому буквы в ответе неправильно написала. Когда поняла ошибку, то отредактировать ответ не смогла, т.к. вы уже написали свой комментарий.
Правильно будет: DB = DC.
 3 года назад
Nasos [148K]
По первому решению - как это сделать? Опишите построение.
По второму решению - говорю ещё раз: отрезок BC не всегда будет проходить через D, поместите точку ближе к одному лучу и увидите это на новой картинке
 3 года назад
bk.ru [8.5K]
Уважаемая Раиса Андрианова, в отношении первого решения у меня нет замечаний, хотя, конечно, Вы не пояснили, как же через найденную точку провести прямую, параллельную одному из лучей угла. Ну это задача простая, и уверен, Вы её решите. Кстати добавлю, что достаточно найти лишь одну точку на одном из луче. А вот второе решение...? Во-первых, Вы взяли прямой угол. Но, в принципе, это не существенно. Но, Вы взяли точку на биссектрисе этого угла. А если точка не лежит на биссектрисе...? Мне самому не известно решение только с циркулем. И вообще, думаю, что его и нет.  3 года назад
bk.ru [8.5K]
Так что мнение, что "если построение циркулем и линейкой возможно, то его можно сделать только циркулем", возможно и ошибочно. Но, как говорится: "Ещё не вечер". Подождем другие ответы.  3 года назад
все комментарии (еще 1)
комментировать
2

Замечание о циркульной задаче.

Имеем угол АБВ и точку Г. Чтобы решить задачу, нам нужно найти хотя бы одну из точек, Г1, или Г2. Обе они лежат на окружности Б1Г1В2Г2 с центром Г.

Как это сделать? Пока не ясно.

У нас изначально есть всего две точки А и Г. Единственное, что можно сделать циркулем, это провести две окружности радиусом АГ. Одну из центра Г, другую из центра А.

Получим несколько новых точек В, Б, А1, А2, В1, Б2. И что с ними делать далее?

Если подсмотрим в ответ, то можно заметить, что нужная нам окружность Б1Г1Г2 расположена концентрически внутри окружности АБВ. Как это использовать? Какие ещё построения можно сделать? Кто знает, кто подскажет?

1

Господа, а задачка-то 'сакральная'. Вот, что мне тут пришло в голову (это не решение задачи, ибо её уже решили другие, а некий её анализ). Чтобы при описании не переключать раскладку клавиатуры, буду точки (вопреки традиции) именовать русскими буквами, уж не обессудьте, но лень.

И так. Имеем исходный угол АБВ и исходную точку Г. Пусть прямая БД есть найденное (не важно как) решение. Тогда в треугольнике АБД прямая АГ будет медианой.

И тут меня 'осеняет'. А ведь можно построить зеркально другой треугольник - ВАБ с таким же углом В, как и угол А. И для этого угла и той же точки Г будет тоже самое решение - прямая БД (в треугольнике ВБД прямая ВГ будет тоже медианой). Но точка Г для этого треугольника расположена совершенно иначе, чем было бы при полном зеркально отображении (для контраста я показал на рисунке эту точку Г2 и решение - прямую БД2). Что всё означает? Не постигаю сути.

А теперь я попробовал отложить полностью зеркально угол БВД влево (с листочком не рассчитал, пришлось подкладывать другой листочек, и стыковки там немного 'подгуляли', но не суть). И так, получился новый угол В2ДБ3, точка Г переехала для такой диспозиции в точку Г3, а решением уже будет прямая ДД3.

Жуть какая-то... Угложуть... Может, кто скажет, что тут так, а что не так?

bk.ru [8.5K]
Уважаемый Nasos, в верхнем рис. мне не понятно зачем строить зеркально другой треугольник с углом В = А. Поместите новую точку "В" в любом месте горизонтального луча или на его продолжении влево от А. И если луч из новой "В" будет проходить через Б, то для новой точки "В" и той же точки Г будет тоже самое решение - прямая БД (в треугольнике "В"БД прямая "В"Г будет тоже медианой). По другому просто не может быть. Вы же сами и приняли, что БГ = ГД.  3 года назад
bk.ru [8.5K]
Уважаемый, а нет ли желания подумать над решением с одним циркулем. У меня уже "мозги набекрень". Не могу ничего придумать.  3 года назад
Nasos [148K]
Угол другой будет, что менее интересно.
Над циркульным решением я думаю. Пока ничего. Чуть позже выложу свои соображения, даже если до решения не доберусь.
 3 года назад
комментировать
0

Задача решается очень просто и действительно линейка здесь нужна только для проведения линии:

Ставим острие циркуля в точку (красная точка на рис) и проводим окружность такого диаметра, чтобы она имела точку пересечения со стороной угла (зелёная точка на рис). На другой стороне угла окружность так же будет иметь точку касания. Теперь всё что нам нужно - взять линейку провести прямую через эти точки. Исходная точка будет серединой отрезка

Nasos [148K]
При этом не всегда равные отрезки, которые получаются соединением зелёных точек с красной будут одной прямой. Это ещё нужно найти такую первую зелёную точку, чтобы получить верное решение. А как?  3 года назад
Cukl [7.5K]
Если радиус круга верный, то всегда они будут на одной прямой (иначе не начертить). А вот подбирать его можно либо сдвигая ножки циркуля пока не поличиться найти точку соприкосновения, либо долгим и сложном методом выходящим за рамки школьной программы  3 года назад
Nasos [148K]
Задача на чёткое однозначное построение, без подбора.  3 года назад
комментировать
0

Упёртая задача (я про циркульный вариант).

Пока единственное, что мне удалось в целом понять про задачу (мне, кажется, что тут про это не упоминали), что она имеет два разных решения, если исходная точка не лежит на биссектрисе угла (иначе оба решения вырождаются в одно). Но как это использовать для циркульного варианта?

Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация