Как решить задачу. С какой скоростью сближались бы два автомобиля?

Относительно поверхности Земли автомобили движутся равномерно и прямолинейно, вектора скоростей которых соответствуют автотрассам. Примем один из автомобилей неподвижным. Тогда относительно его (в новой системе отсчета) второй автомобиль будет двигаться с равномерной скоростью V, равной сумме векторов скоростей. Эта скорость соответствует сближению автомобилей, в случае одновременного проезда ими перекрестка.

Пусть в точке В неподвижный автомобиль. Второй движется по траектории АС со скоростью V. Ситуация на три момента времени отображена на первом рисунке. Здесь t₁ = 2 ч 25 мин., t₂ = 2 ч. Тогда АD = Vt₁, DС = Vt₂. Проведем высоту ВЕ, которая соответствует минимальному сближению автомобилей. На основе прямоугольных треугольников DВЕ, АВЕ, ЕВС составляем систему уравнений:

{ x² + y² = 78²,

{ x² +(Vt₁ + y)² = 328²,

{ x² +(Vt₂ - y)² = 222².

Решим систему относительно неизвестной V . Скорость сближения (удаления) равна (+-) 120 км/ч. Дополнительно определяем минимальное сближение автомобилей – 72 км.

В связи с тем, что возникли сомнения по поводу однозначности решения и соответствия реальности, рассмотрим в качестве наглядного примера механическое решение. В виду отсутствия в условии скоростей автомобилей и угла пересечения дорог, они могут принимать взаимосвязанные различные величины, входящие в ОДЗ.

Примем скорости автомобилей 100 и 130 км. Из деревянных планок или картонных полосок, соединенных шарнирно, изготовим модель в масштабе 1 : 1000000 ( в 1 мм -1 км) как изображено на втором рисунке. В точках В и D положение автомобилей спустя 2 часа и 25 минут от начала отсчета. Изменением наклона конструкции , доводим расстояние между точками В и D равным 78 мм. Теперь измеряем расстояние между точками на автотрассах удаленных от перекрестка 130 и 100 мм. Имеем 120 мм (см. зеленые стрелки), что соответствует теоретическому решению. Синие стрелки указывают на минимальное расстояние между автомобилей и их положение в процессе дальнейшего движения.

С помощью механического способа, найдем второй вариант взаимного расположения автомобилей на трассах, в чем можно удостовериться на третьем рисунке. Но скорость сближения остается неизменной.

120 км/ч.

Пусть А₁, А₂, А₃ и В₁, В₂, В₃ — точки фиксации расстояний автомобилей А и В соответственно.

29 и 24 — условное время, 29 = 2 ч. 25 мин., 24 = 2 ч.

v и w — скорости автомобилей.

Достаточно сделать, например, перенос пути автомобиля В на вектор В₂А₂, получим картинку одновременного пересечения перекрёстка.

Ясно, что 12х — искомая скорость сближения. Она лего находится из треугольника А₁В₁А₃, что ниже.

Ответа на вопрос нет и быть не может. Двигаясь равномерно по двум пересекающимся линиям до перекрёстка и после, где линии так же симметрично будут расходится и автомобили с такой же скоростью будут удалятся. Судя по расчётам автомобили до перекрёстка за 2 часа 25 минут сблизились на 250 км, что равно 328 км - 78 км.

Не доезжая до перекрёстка и находясь на расстоянии 78 км. друг от друга они в любом случае доехали бы до перекрёстка, причём за то же самое время за которое после перекрёстка удалились бы друг от друга на то же расстояние в 78 км по условию вопроса после одновременного пересечения ими перекрёстка. Всё это равноценно утверждению того, что двигаясь после перекрёстка все два часа автомобили удалились бы друг от друга на расстояние 222 км + 78 км., что равно 300 км.

Получается, что за 2 часа 25 минут до перекрёстка автомобили сблизились на 250 км, а за 2 часа после перекрёстка умудрились бы удалиться на 300 км друг от друга, что НЕВОЗМОЖНО при равномерности их движения и при одновременном пересечении автомобилями перекрёстка, независимо от величины их скоростей.

Начну с того что все величины приведены неспроста. Время буду считать не в часах, а в минутах, мне так удобнее.

R1=328 км; R2=78 км; отсюда определим скорость сближения:

V=(328-78)/145=1,724­138 [км/мин]

Теперь зайдём с конца. Авто удалились на R3=222км. Для того чтобы разъехаться с 78 до 222 (144) км им потребуется: 144/1,724138=84 [мин].

Следовательно, начиная с 145 минуты, в течении (120-84)=36 минут авто сближались, а потом удалялись с одинаковым начальным и конечным параметром [78 км].

Тогда можно найти время их максимального сближения: 145+36/2=163 минуты езды. За это время авто сблизятся на 328-163*1,724138=47 [км].

Сделаем проверку: 47+(18+84)* 1,724138=222,8 [км]. Погрешность возникла за счет округления 83,5 до 84 минут.

Вывод . Обозначенные трассы расположены в разных плоскостях и не имеют общих точек. Утверждение о том что трассы пересекаются ложно. Это не эвклидова геометрия, а геометрия Лобачевского. Так что автомобилям не грозит столкновение на перекрестках.

У меня,к сожалению,нет высшего образования. Решение шло геометрическим способом по подобию треугольников.

Скорость получилась старенького "Москвича" 57,564 км/ч.