Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
7

Как решить задачу. С какой скоростью сближались бы два автомобиля?

Vasil Stryzhak [8.7K] более месяца назад

Две прямые автотрассы пересекаются. По каждой из них с равномерной скоростью движется по автомобилю. Изначально расстояние между ними по прямой составляло 328 км. После сближения в течение 2 часов и 25 минут, дистанция сократилась до 78 км. Через два часа автомобили были друг от друга на удалении 222 км.

С какой скоростью автомобили сближались (удалялись) бы в случае одновременного проезда ими перекрестка? Сферичностью Земли, рельефом местности и погодными условиями пренебречь.

бонус за лучший ответ (выдан): 50 кредитов
вопрос поддержали: smog2605 35 кредитов
Василий Котеночкин [19.7K]
задачка на мой взгляд сформулирована не очень корректно.
Лучше было бы "минимальное расстояние между автомобилями за всё время движения составляло не свыше 78 км"
 более месяца назад
Vasil Stryzhak [8.7K]
Все корректно. В условии нет указания на минимальное расстояние 78 км.  более месяца назад
комментировать
3

Вариантов строго говоря четыре

Вариант I.

Оба автомобиля на момент сближения в 78 км не доехали до перекрёстка.

Вариант II

Оба автомобиля на этот момент проехали перекрёсток.

В этом случае, какие скорости были, те пусть и останутся.

Решать задачку приходится только в случае вариантов, когда перекрёсток проехал один из автомобилей.

а) быстрый,

b) медленный

Но и тут встаёт вопрос: уменьшать скорость быстрого, или разгонять медленный?


Перетащим параллельно график медленного автомобиля (зелёный на рисунке) вправо вверх, чтобы в пространстве совместились точки последнего момента времени (222 км обратилось в нуль.)

Тогда основание полученного треугольника станет 328 + 222 = 550

Пропорции по времени между всем движнием и движением от расстояния 78 и до конца измерений

280/120 = 7:3

Сопоставив эту пропорцию с расстоянием между автомобилями, когда на первоначальном графике между ними было 78 км, получим, что основание малого треугольника, подобного больщому было 3*550/7 = 235,7 км.

Если бы оба автомобиля пересекли перекрёсток до момента данного и измерения, было бы 144, Если бы оба ещё не пересекли, то 300. Значит кто-то успел проехать.

Впрочем, это не важно. Ключевой ответ уже был написан: 7/3.

Если скорости автомобилей уменьшить в 7/3 раза, то перекрёстка они достигнут одновременно.

Но если для каждого из автомобилей (а не для обоих вместе) уменьшать скорость иначе, то возможно бесконечное количество решений.

система выбрала этот ответ лучшим
Василий Котеночкин [19.7K]
ошибся я при подсчёте времени, из условия не те какие-то цифры выудил.
Но смысл тот же.
Вместо 7/3 нужно 53/24
 более месяца назад
Vasil Stryzhak [8.7K]
Из бесконечного количества решений приведите одно.  более месяца назад
Василий Котеночкин [19.7K]
Предположим, что на рисунке в данном ответе синенькая линия, возле которой написано 328 - это ось Х
От точки её пересечения с оранжевой линией, изображающей путь первого автомобиля, можно провести ось Y/
Общее время 120+145=265
Первый едет со скоростью v1, под углом а к оси Х графика
Второй v2, и угол b между осью Х и зелёненькой линией (путем первого автомобиля), по часовой стрелке от оси к пути
Угол между трассами pi - (a + pi -b) = b-a

Зависимость от времени положений автомобилей
x1(t) = v1 t cos a; y1(t) = v1 t sin a
x2(t) = 328 + v2 t cos b ; y2(t) = v2 t sin b
Расстояние между автомобилями
s(t) = sqrt( (x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2 ) =
= sqrt( x1^2 + x2^2 - 2 x1 x2 + y1^2 + y2^2 - 2 y1 y2 ) =
= sqrt( (v1 t cos a)^2 + (328 + v2 t cos b)^2 - 2 (v1 t cos a)(328 + v2 t cos b) + (v1 t sin a)^2 + (v2 t sin b)^2 - 2 t^2 v1 sin a v2 sin b)
s(0) = 328
s(145) = 78
s(265) = 222
 3 недели назад
Василий Котеночкин [19.7K]
чтобы не мудрить с четырьмя переменными (v1,v2,a,b) в двух уравнениях предположим
v1=v2 = 72 км/час (кому больше нравится 60 или 120, может решить самостоятельно, но ответы будут иными)
Крибле-крабле-бумс
a= 46.237693 градусов
b=159.123074
b-a =112.885381
По теореме синусов второй автомобиль на расстоянии от перекрестка 257.12645 км
Первый - 126.87355
Чтобы одновременно достичь перекрёстка из начального положения за два часа
первому нужна скорость 63.43677, второму 128.56322
За один час 126.87355 и 257.12645
За три часа .....
 3 недели назад
Vasil Stryzhak [8.7K]
Не вижу в цифрах значения скорости сближения автомобилей (ответа на вопрос).  3 недели назад
все комментарии (еще 6)
комментировать
3

Относительно поверхности Земли автомобили движутся равномерно и прямолинейно, вектора скоростей которых соответствуют автотрассам. Примем один из автомобилей неподвижным. Тогда относительно его (в новой системе отсчета) второй автомобиль будет двигаться с равномерной скоростью V, равной сумме векторов скоростей. Эта скорость соответствует сближению автомобилей, в случае одновременного проезда ими перекрестка.

Пусть в точке В неподвижный автомобиль. Второй движется по траектории АС со скоростью V. Ситуация на три момента времени отображена на первом рисунке. Здесь t₁ = 2 ч 25 мин., t₂ = 2 ч. Тогда АD = Vt₁, DС = Vt₂. Проведем высоту ВЕ, которая соответствует минимальному сближению автомобилей. На основе прямоугольных треугольников DВЕ, АВЕ, ЕВС составляем систему уравнений:

{ x² + y² = 78²,

{ x² +(Vt₁ + y)² = 328²,

{ x² +(Vt₂ - y)² = 222².

Решим систему относительно неизвестной V . Скорость сближения (удаления) равна (+-) 120 км/ч. Дополнительно определяем минимальное сближение автомобилей – 72 км.

В связи с тем, что возникли сомнения по поводу однозначности решения и соответствия реальности, рассмотрим в качестве наглядного примера механическое решение. В виду отсутствия в условии скоростей автомобилей и угла пересечения дорог, они могут принимать взаимосвязанные различные величины, входящие в ОДЗ.

Примем скорости автомобилей 100 и 130 км. Из деревянных планок или картонных полосок, соединенных шарнирно, изготовим модель в масштабе 1 : 1000000 ( в 1 мм -1 км) как изображено на втором рисунке. В точках В и D положение автомобилей спустя 2 часа и 25 минут от начала отсчета. Изменением наклона конструкции , доводим расстояние между точками В и D равным 78 мм. Теперь измеряем расстояние между точками на автотрассах удаленных от перекрестка 130 и 100 мм. Имеем 120 мм (см. зеленые стрелки), что соответствует теоретическому решению. Синие стрелки указывают на минимальное расстояние между автомобилей и их положение в процессе дальнейшего движения.

С помощью механического способа, найдем второй вариант взаимного расположения автомобилей на трассах, в чем можно удостовериться на третьем рисунке. Но скорость сближения остается неизменной.

3

120 км/ч.

Пусть А₁, А₂, А₃ и В₁, В₂, В₃ — точки фиксации расстояний автомобилей А и В соответственно.

29 и 24 — условное время, 29 = 2 ч. 25 мин., 24 = 2 ч.

v и w — скорости автомобилей.

Достаточно сделать, например, перенос пути автомобиля В на вектор ВА₂, получим картинку одновременного пересечения перекрёстка.

Ясно, что 12х — искомая скорость сближения. Она лего находится из треугольника А₁В₁А₃, что ниже.

1

Ответа на вопрос нет и быть не может. Двигаясь равномерно по двум пересекающимся линиям до перекрёстка и после, где линии так же симметрично будут расходится и автомобили с такой же скоростью будут удалятся. Судя по расчётам автомобили до перекрёстка за 2 часа 25 минут сблизились на 250 км, что равно 328 км - 78 км.

Не доезжая до перекрёстка и находясь на расстоянии 78 км. друг от друга они в любом случае доехали бы до перекрёстка, причём за то же самое время за которое после перекрёстка удалились бы друг от друга на то же расстояние в 78 км по условию вопроса после одновременного пересечения ими перекрёстка. Всё это равноценно утверждению того, что двигаясь после перекрёстка все два часа автомобили удалились бы друг от друга на расстояние 222 км + 78 км., что равно 300 км.

Получается, что за 2 часа 25 минут до перекрёстка автомобили сблизились на 250 км, а за 2 часа после перекрёстка умудрились бы удалиться на 300 км друг от друга, что НЕВОЗМОЖНО при равномерности их движения и при одновременном пересечении автомобилями перекрёстка, независимо от величины их скоростей.

Vasil Stryzhak [8.7K]
Логика далека от истины.  3 недели назад
oleg27 [7.2K]
И в чём она далека? в каком именно месте она далека?
Логика в моём ответе железная
 3 недели назад
комментировать
1

Начну с того что все величины приведены неспроста. Время буду считать не в часах, а в минутах, мне так удобнее.

R1=328 км; R2=78 км; отсюда определим скорость сближения:

V=(328-78)/145=1,724­138 [км/мин]

Теперь зайдём с конца. Авто удалились на R3=222км. Для того чтобы разъехаться с 78 до 222 (144) км им потребуется: 144/1,724138=84 [мин].

Следовательно, начиная с 145 минуты, в течении (120-84)=36 минут авто сближались, а потом удалялись с одинаковым начальным и конечным параметром [78 км].

Тогда можно найти время их максимального сближения: 145+36/2=163 минуты езды. За это время авто сблизятся на 328-163*1,724138=47 [км].

Сделаем проверку: 47+(18+84)* 1,724138=222,8 [км]. Погрешность возникла за счет округления 83,5 до 84 минут.

Вывод . Обозначенные трассы расположены в разных плоскостях и не имеют общих точек. Утверждение о том что трассы пересекаются ложно. Это не эвклидова геометрия, а геометрия Лобачевского. Так что автомобилям не грозит столкновение на перекрестках.

FEBUS [1.3K]
Я в восхищении от геометрии Лобачевского в вашем исполнении!  2 недели назад
комментировать
1

С скоростью 111км в час могли сближаться

Вот формула : V=S/T.

Здесь :

  • V- скорость ;
  • s- расстояние ;
  • Т- время;

Скорость =расстояние/ время

Значить:

222 километр : 2 часа ровно на 111 километров в час.

Василий Котеночкин [19.7K]
Красивое решение.
Жаль, что от нуля отсчитывается. Ведь за два то часа до этого было 78.
(222-78)/2 = 72
 более месяца назад
комментировать
1

В случае одновременного проезда автомобилями перекрёстка автомобили бы уже далее не двигались, ибо они столкнулись. При любом рельефе местности, погодных условиях и сферичности Земли.

Vasil Stryzhak [8.7K]
Если считаете, что автотрассы пересекаются на одном уровне, то нет ответа на вопрос: «Задача. С какой скоростью сближались бы два автомобиля?»  более месяца назад
комментировать
0

Непонятно, для чего указание на точку 78 км, если только немного сбить с толку. Задачу можно решить геометрически (не будем, рисунки делать не на чем), можно вычислением.

Решение:

1) обозначаем за Х время до встречи автомобилей;

2) составляем уравнение 328/Х = 222/(4,42-Х);

3) решаем, получаем Х= 2,64 часа;

4)определяем скорость сближения/удаления 328/2,64=124,24 км/час.

Ответ: скорость сближения/удаления автомобилей 124,24 км/час.

Геометрическое решение расскажу словами. Строим прямоугольную систему координат. По оси абсцисс откладываем время. По оси ординат - расстояние между автомобилями. При времени 0 откладываем ординату 328 км, при времени 4 часа 25 минут откладываем ординату -222 км. Соединяем первую и вторую ординаты прямой. На точке пересечения прямой с осью абсцисс находим время встречи автомобилей на перекрестке.

Vasil Stryzhak [8.7K]
Не следует игнорировать указанными в условии задачи значениями.  4 недели назад
msb [107K]
Я понял.Варианты с 78 км и с встречей на перекрестке разные?  4 недели назад
msb [107K]
Второй вариант.Скорость сближения 250/2,42=103,3. А что нужно определить? МИнимальное сближение?  4 недели назад
Vasil Stryzhak [8.7K]
Из условия следует, что автомобили проезжают перекресток в разное время, поэтому сближаются (удаляются) не равномерно. Если бы проезжали одновременно, то скорость сближения (удаления) их относительно друг друга была бы равномерна. Вот эту скорость следует вычислить.  4 недели назад
msb [107K]
Простите, если сближаются неравномерно, то в каждый момент времени скорость разная. Вычислить ее можно только для какого-то момента времени. Тогда надо определить функцию  4 недели назад
все комментарии (еще 4)
комментировать
0

У меня,к сожалению,нет высшего образования. Решение шло геометрическим способом по подобию треугольников.

Скорость получилась старенького "Москвича" 57,564 км/ч.

Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация
OpenID