Что такое евхаристическое общение и зачем оно нужно церквям?

Это общение в Евхаристии. Иначе говоря:

Если вкратце обобщить, то это возможность совместного Причастия (Причащения святых Христовых Тайн).

• То есть, возможность совместного служения на Литургии (а именно на самом Евхаристии - то бишь, при служебном единении с Господом или ... (иначе говоря) при Богообщении) двух и более епископов.

Так что ... это означает:

• единство Церквей;
• служба единоверцев;
• общение единообрядцев (без сектантов, без раскольников и без ...), то есть духовное благочестие единства идеалов.

Быть в духовном единстве при вероисповедании.

При "разрыве общения" канонически невозможно проводить ни совместных Евхаристических служении и ни принятии Святых Христовых Таин находящихся в "разрыве" ("разобщении").