Проще всего ответить на последний вопрос: роль огромная. Определяющая. Примерно та же, что и у уравнения Ньютона (и производных от него - уравнений Гамильтона) в классической механике. Вот как уравнение Ньютона полностью описывает поведение классической системы, точно так же уравнение Шрёдингера описывает поведение системы квантовой.
Функцией же, к которой применяется уравнение Шрёдингера, является вещь, в классической механике вообще немыслимая: вероятность состояния. Точнее, не сама вероятность, а волновая функция (ψ), квадрат модуля которой и даёт вероятность.
По своей форме уравнение Шрёдингера тоже представляет собой гамильтониан, то есть возникло оно не на пустом месте. Примерно такие же уравнения применяются при описании волновых систем в оптике (функцией, относительно которой составляется там уравнение, служит волновой вектор), и Шрёдингер, отталкиваясь от гипотезы де Бройля о наличии волновых свойств у любых объектов, предложил своё уравнение.
