Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
4

Задача. Сколько процентов стекла покрыли прямоугольные полоски бумаги?

Vasil Stryzhak [7.9K] более месяца назад

На оконное стекло размером 45 х 60 см наклеены две полоски бумаги шириной 5 см крест-накрест, как это делали во время войны, (см. рисунок). Уголки полосок касаются контура стекла, имеющего прямоугольную конфигурацию.

бонус за лучший ответ (выдан): 10 кредитов
4

Обозначим катеты малых треугольников, остающихся в углах, "х" (горизонтальный, больший), и "у" (вертикальный, меньший). Очевидно, что x^2+y^2=5^2.

Центры прямоугольных полосок и стекла совпадают. Соединим его с вершинами в одном из концов полоски. Получим равнобедренный треугольник с основанием 5. По рисунку, квадраты длин боковых сторон (почему-то редактор не хочет воспроизводить символы корня, и пишет вместо них знаки вопросов.) равны (30-у)^2+22,5^2, другого (22,5-х)^2+30^2).

Получаем систему двух уравнений:

{x^2+y^2=5^2;

{(30-у)^2+22,5^2=(22­,5-х)^2+30^2.

Из первого уравнения выразим х через у, и подставим во второе.

К сожалению, аналитическое выражение получается слишком сложным, после избавления от иррациональности получается уравнение 4 степени. Но к счастью, у нас есть такой мощный инструмент как Excel. Используя его путём подбора получил такие значения:

х=4,063244414, у=2,91376815, и тангенс меньшего из углов (фи) в маленьком треугольнике и подобных ему больших: tg(фи)=0,717103835. Прошу простить за избыточные значащие цифры, просто при подборе решения вовремя не остановился, да они в общем-то и не мешают.

Теперь вычислим площадь бокового большого треугольника по формуле:

Sбок=(30-2,91376815)­*((30-2,91376815)*0,7­17103835)=526,1132243 см^2.

Аналогично, площадь верхнего (или нижнего) большого треугольника

Sверх=(22,5-4,063244­414)*((22,5-4,0632444­14)/0,717103835)=474,­0094079 см^2.

Ну, и площади малых треугольников Sмал=4,063244414*2,9­1376815=5,91967603 см^2.

Суммарная площадь незаклеенной поверхности равна 2*(526,1132243+474,0­094079)+4*5,91967603=­2023,923969 см^2.

Площадь всего стекла 45*60=2700 см^2, площадь заклеенной части 676,0760315 см^2, что составляет

25, 04 %.

Для интересующихся добавлю, что высота боковых треугольников 19,42364025 см, горизонтальная диагональ ромба 6,152719491 см. Высота верхнего и нижнего треугольников 25,71002293 см, вертикальная диагональ ромба 8,579954141 см, длина каждой полоски 70,24710544 см, площадь ромба 26,39502554 см^2.

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
Vasil Stryzhak [7.9K]
Ок!  более месяца назад
Mefody66 [27.9K]
Да, задача оказалась далеко не такой очевидной, как думали Сергей Ракитин и другие.
Такую можно и на braingames послать!
 более месяца назад
Rafail [110K]
Вначале меня тоже заворожил египетский треугольник. Правда несколько удивило, почему это вдруг Vasil Stryzhak дал чисто вычислительную задачку. Я быстренько написал ответ. Но тут же мне написал в личку smog2605 и указал, что края полосок не параллельны диагоналям. Спасибо ему за подсказку. Пришлось срочно удалять неправильное решение и искать правильное. Оно конечно тут же нашлось, но должно было получиться уравнение четвёртой степени, решать которое не хотелось. Но другого метода не нашёл, пришлось решать подбором. Да кстати, для получения второго уравнения системы, наверное проще было бы воспользоваться подобием треугольников, т.е. (45-х)/(60-у)=у/х. Уравнение то же, но вывод нагляднее. А насчёт послать на "braingames­", не стоит, ведь "изюминки" никакой нет, есть просто ложный путь.  более месяца назад
комментировать
5

Рассчитаем площадь стекла 45х60 = 2700 см кв. и его диагональ по теореме Пифагора 75 см.

Мысленно разрежем стекло по краям бумажных полос, а из получившихся треугольников сложим прямоугольники:

Углы, под которыми находятся диагонали в новых прямоугольниках, остаются прежними.

Посчитаем Sin a = 45/75 = 4/5 и Cos a = 60/75 = 3/5.

Стороны маленького прямоугольника:

5 х Sin a = 5 х 4/5 = 4 см;

5 х Cos a = 5 х 3/5 = 3 см.

Его площадь 3х4 = 12 см кв.

Стороны большого прямоугольника 45-2х4 = 37 см, 60-2х3 = 54. Площадь 37х54 = 1998 см кв.

Суммарная площадь незаклеенного стекла 1998+12*2 = 2022 см кв.

Следовательно, бумагой закрыто (2700-2022)/2700х100­% = 25%

Vasil Stryzhak [7.9K]
При разрезе стекла по краям бумажных полос, из получившихся треугольников стекла нельзя сложить большой прямоугольник, так как совмещаемые стороны имеют различную длинну (малые уголки отрезаны под прямымым углом, большие треугольники под другими углами).  более месяца назад
Rafail [110K]
"совмещаемые стороны имеют различную длину": у боковых треугольников по 33,330792366 см, у верхнего и нижнего по 31,637307919 см.  более месяца назад
Вова маленький [74.9K]
Каюсь, большой не сложить. Надо считать площади треугольников.  более месяца назад
комментировать
2

У меня получилось 25,11%. Ход рассуждений следующий. Общая поверхность стекла составляет 45х60=2700 кв. см. Теперь найдём площади незаклеенных треугольников. Их получается 8: 4 малых (одинаковых) и 4 больших, разбитых на две пары.

Обозначим катеты малых треугольников через a и b, очевидно, что если убрать полосы, то четыре больших треугольника могут быть совмещены в прямоугольник со сторонами (60-2b) и (45-2a).

Теперь проведем в исходном прямоугольнике диагональ, которая разобьем его на два прямоугольных треугольника с отношением катетов 45/60=3/4. Очевидно, что малый треугольник будет подобен полученному большому и соотношение его катетов b/a=3/4 (это легко показать из равенства углов большого и малого треугольников). При этом гипотенуза по условию равна 5, т.о. по теореме Пифагора получаем a=4, b=3.

Следовательно, площадь 4 малых треугольников по углам нашей фигуры будет 4(0,5х3х4)=24 кв см. Площадь указанного выше малого прямоугольника составит (60-6)(45-8)=54х37=1­998 кв см, а суммарно площадь свободного стекла составит 1998+24=2022 кв см, значит, площадь полос будет 678 кв см (с учетом перехлеста)

А искомая величина 678/2700=25,11%.

1

Вот мое решение. Моя идея состоит в том, чтобы вычислить площадь одной полоски, умножить на 2 и вычесть площадь перекрывшейся части в центре.

Сначала рассмотрим прямоугольные треугольники в углах окна. Все они равны и их гипотенузы равны 5. Тогда катеты соответственно равны 3 (вертикальный катет) и 4 (горизонтальный). Площадь одного такого треугольника равна 3*4/2 = 6 см2.

Затем рассмотрим ромбик в перекрещении полосок, очевидно, что этот ромбик делится на треугольники тоже с катетами 3 и 4 (из подобия треугольников со сторонами 45 и 60 и маленькими). Значит я из суммарной площади полосок буду вычитывать 24.

Далее перейдем к большому треугольнику, образованного одной полоской и сторонами окна. У него катеты равны 60-3 = 57 и 45-4 = 41.

По теореме Пифагора находим гипотенузу (длину полоски) корень квадратный из (57*57 +41*41) = 70,212. Дальше все ясно, 2*5*70,212 - 24 = 702,12-24=676,12 см2 (площадь покрытой бумагой части окна).

Затем находим эту же площадь в процентах. Общая площадь окна 60*45 = 2700, 676,12*100%/2700= 25%. При грубом подсчете получается такое же значение.

Vasil Stryzhak [7.9K]
На каком основании катеты прямоугольных треугольников в углах окна равны 3 и 4 см. Неочевидно, что «ромбик» делится на треугольники с катетами 3 и 4 см.  более месяца назад
Mefody66 [27.9K]
То, что маленькие треугольники имеют катеты 3 и 4, следует из того, что они подобны треугольнику - половине окна с катетами 45=3*15 и 60=4*15.
А вот с ромбом действительно неочевидно, что он разбивается на 4 таких же треугольника.
 более месяца назад
Mefody66 [27.9K]
Интересно, что Габбас, как и Сергей Ракитин, правильно вычислил размеры маленьких треугольников и размеры оставшихся больших. А вот площадь покрытия полосок посчитал не совсем правильно - 676,12 вместо 678. Видимо, у ромбика все-таки другая площадь.  более месяца назад
габбас [107K]
Я сам только что догадался, что маленькие треугольники в ромбе подобны треугольнику не со сторонами 45 и 60, а треугольнику со сторонами 41 и 57. Очевидно, что пропорции при этом будут другими.  более месяца назад
Vasil Stryzhak [7.9K]
Следует провести диагонали в оконном стекле и визуально убедиться – они не перпендикулярны гипотенузам малых треугольников. Тогда треугольники не египетские с отношением сторон 3 : 4 : 5 и не подобны треугольнику - половине окна с катетами 45=3*15 и 60=4*15.  более месяца назад
комментировать
1

Четверть рисунка имеет три подобных треугольника .Если катеты маленького х и у ,

тогда их плщади :0,5ху ; 0,5ху*((22,5-х)/у)^2­;0,5ху*((30-у)/х)^2.(­Площади подобных треугольников относятся как квадраты отношения линейных размеров ).

Х и У найдено у Rafai­l [108K]

(30*22,5-(0,5ху + 0,5ху*((22,5-х)/у)^2­+0,5ху*((30-у)/х)^2))­/(30*22,5)*100%

Vasil Stryzhak [7.9K]
Неплохой подход определения площадей подобных треугольников. Но с математической точки зрения в конечном итоге получаем одинаковые формулы вычисления.  более месяца назад
комментировать
Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация
OpenID