Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
1

Назовем натуральное число хорошим (см) Какие числа будут хорошими?

Master-Margarita [44K] 2 недели назад

Назовем натуральное число хорошим, если в нем можно переставить цифры так, чтобы получившееся число делилось на 11.

а) Является ли число 1234 хорошим?

б) Является ли число 12345 хорошим?

в) Найти наибольшее хорошее число, состоящее из различных нечетных цифр.

fatalex [54.3K]
"из различных нечётных" - это значит, что цифры не повторяются?  2 недели назад
комментировать
4

Для решения данной задачи необходимо вспомнить признак делимости на 11.

Итак,

а) из предложенных четырех чисел: 1, 2, 3, 4 - совсем нетрудно подобрать две пары, разность чисел в одной из которых равна единице, а в другой - минус единице. Таким образом, знакочередующася сумма будет равной нулю, который без остатка делится на любое число, в т.ч. и на 11. К примеру, (4 и 3) и (1 и 2). Получившееся число 4312 и впрямь делится на 11, (4312/11) = 392, значит, число 1234 является хорошим в соответствии с данным в условии определением.

б) допустим, число 12345 - хорошее, тогда выражение (а1 - а2 + а3 - а4 + а5), где каждый член - одно из чисел {1, 2, 3, 4, 5}, отличное от другого, кратно 11.

Стало быть, (а1 - а2 + а3 - а4 + а5) = 11n, где n - целое неотрицательн. число. Очевидно, n < 1, так как максимально возможное значение данного выражения меньше одиннадцати (5 + 4 + 3 - 2 - 1 = 9).

Тогда (а1 - а2 + а3 - а4 + а5) = 0, или

а1 + а3 + а5 = а2 + а4.

Такое равенство возможно, только если оба значения (а1 + а3 + а5) и (а2 + а4) четны или оба нечетны.

(а2 + а4) четно, когда а2 и а4 четные числа, но в этом случае (а1 + а3 + а5) будет нечетно как сумма трех нечетн. чисел, или когда а2 и а4 нечетные, но и тут (а1 + а3 + а5) нечетно как сумма двух четн. и одного нечетн. числа.

(а2 + а4) нечетно, когда одно из чисел четно, а второе - нет, но в этом случае (а1 + а3 + а5) будет четно как сумма двух нечетн. и одного четного числа.

Т.о., получили, что (а1 - а2 + а3 - а4 + а5) не равно нулю, следовательно, число 12345 не является хорошим.

в) по аналогии с пунктом (б) можно выяснить, что хорошее число не может состоять из пяти различных цифр, каждая из которых нечетна. А вот из четырех может, и для нахождения наибольшего из них необходимо задействовать цифры 3, 5, 7, 9.

(9 - 7 + 3 - 5) = 0, значит 9735 кратно 11. Остается поставить цифры по убыванию, и получим искомое хорошее число - 9753.

1

1) Число 1234-хорошее число.Переставим цифры,получим число 1243.Делится на 11.Проверим 1243:11=113 2) Число 12345 не является хорошим числом.Не получается переставить цифры таким образом чтобы разность суммы цифр стоящих на чётных местах и суммы цифр стоящих на нечётных местах была кратна 11. 3)Как я понял цифры не должны повторяться.Выпишем всевозможные подсуммы из трёх и двух цифр-(135=9,79=16),(­137=11,59=14),(139=13­,57=12),(157=13,39=12­),(159=15,37=10),(179­=17,35=8),(357=15,19=­10),(359=17,17=8),(37­9=19,15=6),(579=21,13­=4).Не получается найти такое число состоящее из 5 цифр.Значит возьмём четырёхзначное число,просто подберём-9735.Ответ-­наибольшее число делящееся на 11 и состоящее из разных цифр=9735

Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация
OpenID