Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
1

Как доказать, что если K нечётное число, то (K^5 - K) делится на 240?

Никольский [4.2K] 2 месяца назад

Если взять любое нечетное число, возвести его в пятую степень и вычесть из результата исходное число, то результат обязательно делится на 240 без остатка! Это настолько поразительно, что кажется невероятным. Тем не менее, это факт.

Но вот почему?

2

Разложим выражение K^5-K на множители. Получим: K^5-K=(K-1)*K*(K+1)* (K^2 +1).

Фрагмент (K-1)*K*(K+1) представляет собой произведение трёх, следующих друг за другом натуральных чисел. Значит одно из них кратно 3. Поскольку K - нечётное, то (K-1) и (K+1) - четные, причём следуют друг за другом, значит одно из этих чисел кратно 4. а в целом произведение (K-1)*K*(K+1) кратно 24. Поскольку K - нечётное, то (K^2+1) - чётное, значит (K-1)*K*(K+1)*(K^2+1­) кратно 48.

Представим (K^2+1) в виде (K^2-4+5)= [(K-2)*(K+2)+5].

Тогда получаем выражение: (K-1)*K*(K+1)*[(K-2)­*(K+2)+5]=

=(K-2)*(K-1)*K*(K+1)­*(K+2)+5*(K-1)*K*(K+1­).

В первом слагаемом ряд (K-2)*(K-1)*K*(K+1)* (K +2) - это пять последовательных натуральных чисел, значит одно из них кратно 5, а второе слагаемое тоже кратно 5. Значит и всё выражение (K-1)*K*(K+1)*[(K-2)­*(K+2)+5] кратно 5. Таким образом доказано, что K^5-K при любом нечётном K кратно 240.

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
Никольский [4.2K]
Спасибо! Ваше доказательство к тому же ещё кратко и изящно.  2 месяца назад
комментировать
5

Для начала (К^5 - К) можно записать в виде К*(К^4 - 1).

По условию К нечетно, то есть его можно представить в следующем виде

(2а + 1), где а - целое число.

Подставим это выражение в К*(К^4 - 1) и получим

(2а + 1)*((2а + 1)^4 - 1) = 8а*(2а + 1)*(2а^2 + 2а + 1)*(а + 1).

Очевидно, что полученное произведение делится на 8. Осталось доказать, что а*(2а + 1)*(2а^2 + 2а + 1)*(а + 1) делится на 30. Данное произведение четно, поскольку либо а, либо (а + 1) делится на 2.

Теперь нужно доказать, что это произведение делится еще и на 15, то есть одновременно и на 3 и на 5.

Перепишем наше выражение в следующем виде

а*(2(а + 2) - 3)*(2а^2 + 2а + 1)*(а + 1).

Если а кратно трем, тогда и все выражение делится на 3. В противном случае на три должно делиться либо (а + 1), либо (а + 2), при этом, если (а + 2) делится на три, то и (2(а + 2) - 3) делится на 3.

Т.о., при любом а наше выражение кратно трем.

Теперь допустим, что а делится на 5, тогда и все выражение также делится на 5. Иначе на пять должно делиться либо (а + 1), либо (а + 2), либо (а + 3), либо (а + 4).

С (а + 1) все ясно, оно является одним из сомножителей.

Если (а + 2) кратно пяти, то и

2а^2 + а + 1 = 2(а + 2)^2 - 6(а + 2) + 5

делится на 5.

Если (а + 3) кратно пяти, то и

(2а + 1) = 2(а + 3) -5

делится на пять.

Если (а + 4) кратно пяти, то и

2а^2 + а + 1 = 2(а + 4)^2 - 14(а + 4) + 25

делится на 5.

Т.о., при любом а наше выражение кратно пяти.

Вроде все.

2

Это на раз доказывается методом математической индукции.

Для начала отметим, что если два числа делятся на какое-то третье, то и их разность тоже делится на это третье. То есть если М1 и М2 оба делятся на 240 (как в нашем случае), то разность М2-М1 тоже делится на 240.

Из чего следует, если М1 делится на 240, то М2=М1+240 тоже делится на 240.

Теперь обратим внимание, что при k=1 (как, кстати, и при k=3) рассматриваемое равенство соблюдается, что проверяется прямым вычислением.

Ну и рассмотрим разность этих выражений для двух последовательных значений k. Отметим, что два последовательных нечётных числа отличаются на 2, поэтому для удобства обозначим их как 2n-1 и 2n+1, n - произвольное целое, большее 1.

Тогда путём несложных, но требующих аккуратности вычислений можно показать, что разность

[(2n+1)^5-(2n+1)] - [(2n-1)^5-(2n-1)] = 80n²(2n²+1).

Значит, что разность делится на 80, мы видим сразу. Осталось разобраться с делимостью на 3.

Если n делится на 3, то разность делится и на 240.

Если n не делится на 3, то у нас или n=3m+1, или 3m+2 (где m - опять же произвольное целое). Не штука убедиться, что для обоих этих случаев 2n²+1 делится на 3. Тем самым разность делится на 240 при любом произвольном n.

А значит, если исходное выражение делится на 240 при каком-то k (а при k=3 мы уже знаем, что это так) и значение этого выражения при следующем k отличается на число, кратное 240, то оно будет делиться и при любом значении k.

Что и требовалось доказать.

Никольский [4.2K]
Спасибо! Хорошее доказательство. Кстати, индукцию можно было бы начинать и с 1 (вместо 3).
1-1=0, а ноль делится на все, что угодно.
Вы явно понимаете толк в математике. Потому обратите внимание на доказательство, предложенное Rafail (ниже). Оно удивительно кратко и просто.
 2 месяца назад
комментировать
0

Первое число соответствующее условию вопроса это 3^5-5=243-3=240. Любое нечетное число К можно представить в виде суммы (3+2*n), тогда K^5 - K = (3+2*n)^5 - (3+2*n)= ((3+2*n)*(3+2*n)^4-1­), 3^4-1=81-1=80. Произведение 80*(3+2*n) будет содержать сомножитель 240, что и требовалось доказать.

Грустный Роджер [196K]
Ход мыслей интересный, но вот как из (3+2*n)^4-1­ получилось 3^4-1? И почему (3+2*n) должно делиться на 3?  2 месяца назад
bezdelnik [27.4K]
Из (3+2*n)^4-1­ получается 3^4-1 при возведении тройки в четвертую степень, а одним из слагаемых в результате будет -1. (3+2*n) делится на 3 если n кратно 3.  2 месяца назад
комментировать
0

Можно подставить. При подставлении 3 подучится так: ((3^5)-3)/240= 240/240=1. Если подставить 5,то выйдет так: ((5^5)-5)/240=3120/2­40=13.Вот.

Никольский [4.2K]
Да, получится. Можно подставить любое нечетное - и опять получится!
Но вот вопрос: почему?!
 2 месяца назад
il63 [117K]
Теория чисел - сложный раздел математики.  2 месяца назад
комментировать
Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация
OpenID