Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
1

Как доказать, что разность квадратов любых нечетных чисел делится на 8?

Никольский [4.2K] 2 месяца назад

На БВ есть похожий вопрос.

Но там речь идет лишь о последовательных нечетных числах. Между тем, разность квадратов любых нечетных чисел делится на 8. Например, 7^2 - 3^2 = 49 - 9 = 40 = 5*8 . Вопрос, как это доказать в общем случае.

2

Как уже предлагалось, рассмотрим разность квадратов чисел 2n+1 и 2m+1. Преобразуя ((2n+1)-(2m+1))*((2n­+1)-(2m+1)), получим 4*(n(n+1)-m(m+1)). То есть разность точно кратна четырём. А если рассмотреть содержимое скобок, то

совершенно очевидно, что произведения n(n+1) и m(m+1) - кратные двум числа, а значит, и их разность кратна двум. 2*4=8, всё.

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
Никольский [4.2K]
Спасибо! Исчерпывающе.  2 месяца назад
комментировать
1

В общем виде любое нечётное число можно записать в виде (2х+1), другое нечётное число записать в виде (2у+1). Тогда разность их квадратов (2х+1)^2-(2у+1)^2, распишем в виде [(2х+1)+(2у+1)]*[(2х­+1)-(2у+1)]. Производим очевидные преобразования:

[(2х+1)+(2у+1)]*[(2х­+1)-(2у+1)]=(2х+2у+2)­*(2х-2у)=4*(х+у+1)*(х­-у). Чтобы разность (2х+1)^2-(2у+1)^2 делилась на 8, достаточно, чтобы одно из чисел (х+у+1) или (х-у) было чётным.

Если х и у - одинаковой чётности (или оба чётные, или оба нечётные), то их разность - чётная.

Если х и у - разной чётности (одно из них чётное,а другое - нечётное, то их сумма - нечётная, а число (х+у+1) - чётное. Таким образом, теорема доказана.

Никольский [4.2K]
Спасибо! Хорошее доказательство.  2 месяца назад
комментировать
1

Для общего доказательства нужно уйти в абстракцию, то бишь в алгебру. Вобщем виде любое нечетное число можно записать как (2n + 1). Другое нечетное число очевидно будет (2n + 3). Разность квадратов этих чисел по алгебраическому преобразованию есть произведение их суммы на их разность.

Поэтому имеем (2n + 1 + 2n + 3) * (2n + 1 - 2n - 3). После упрощения этого выражения получаем (4n + 4) * (-2) или еще проще (-2) * 4 * (n + 1),или совсем просто: (-8) * (n + 1). А из этого последнего выражения уже явно просматривается, что оно должно нацело делиться на 8.

Никольский [4.2K]
Вы предложили доказательство для двух последовательных нечетных чисел (2n + 1) и (2n + 3).

Но задача заключается в том, чтобы доказать это для ЛЮБЫХ нечетных чисел.
 2 месяца назад
Сыррожа [48.5K]
А что мешает второе число записать как (2m + 1)? Тогда после преобразований описанных в моем решении получим чуть более сложное выражение типа 8 * n * m * (n + m + 1). Отсюда тоже видно, что данное выражение должно делиться на 8.  2 месяца назад
Никольский [4.2K]
Выражение вида 8 * n * m * (n + m + 1) там никак не может получиться. Наверное, у Вас какая-то описка.  2 месяца назад
Сыррожа [48.5K]
Да вы правы. В чистом виде получаются только выражения типа 4 * (n - m) * (n + m + 1) - это если второе число записать как 2m + 1. Либо будет выражение типа 4 * (n + m) * (n - m + 1), если второе число записать как 2m - 1.
Но обратите внимание на сомножители (n - m) или (n + m). Если оба числа n и m - нечетные по условию, то их сумма или разность обязательно будет четной. А раз так то она будет кратной 2. Ну а 2 * 4 всегда кратно 8.
 2 месяца назад
комментировать
0

Запишем числа в виде 1) 4х+1(где х -0,1,..) и (4х+1) образует последовательность 1,5,9...и 2) 4у-1 (где у-1,2,3.. ) и образуется последовательность 3,7,11...Видим что эти последовательности охватывают все нечётные числа.Если нечётные числа равны, то разность их квадратов 0,на 8 делится.Доказывать нечего.В общем же случае получим 16x^2+8x+1-(16y^2-8y­+1)=16(x^2-y^2)+8(x+y­).Число 8 можно вынести за скобки.Вот и получается произведение двух сомножителей, один из которых 8.Значит и всё произведение делится на 8.Всё.

Никольский [4.2K]
Доказательство в принципе верное, но не полное.
Потому что если взять два числа вида (4х+1) и (4у+1), то разность их квадратов тоже будет кратна 8. То же самое с разностью квадратов (4х-1) и (4у-1). Вы же рассмотрели только разность квадратов (4х+1) и (4y-1).
 2 месяца назад
Евгений трохов [19.4K]
Да,верно подметили.Но сами понимаете что если произвести вычисления то результат такой же.1)16x^2-16y^2+8x-­8y 2)16x^2-16y^2+8y-8x.­Спасибо,что поправили.  2 месяца назад
комментировать
Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация
OpenID