Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
1

В таблице 13х13 расставлены целые числа. Как решить?

Никита Алиев [2] более года назад

В таблице 13х13 расставлены целые числа (возможно, отрицательные, но не равные нулю). Для каждого числа в таблице сумма чисел, стоящих с ним в одной строке и одном столбце, не считая его самого, равна произведению некоторого K на это число. Найдите сумму всех K, при которых это возможно.

1

про столбцы забыли.K*а(ij) = S(i)-а(ij)+Н(j)-а(ij­). Н(j) сумма столбца, Т - сумма таблицы.

Сложим первый столбец. K*а(11) = S(1)-а(11)+Н(1)-а(11­), K*а(21) = S(2)-а(21)+Н(1)-а(21­)...,K*а(13 1) = S(13)-а(13 1)+Н(1)-а(13 1) Получим К*Н(1)= Т-Н(1)+13*Н(1)-Н(1)=­Т+11*Н(1). Теперь сложим остальные столбцы. Получим К*Т=13*Т+11*Т=24Т, откуда К=24. Это вариант если Т не равно 0. Пример. все числа одинаковые.

Рассмотрим варианты, когда Т=0

а) Сложим числа по диагонали.

K*а(11) = S(1)-а(11)+Н(1)-а(11­), K*а(22) = S(2)-а(22)+Н(2)-а(22­),...K*а(1313) = S(13)-а(13 13)+Н(13)-а(13 13). Получим К*D=T-D+T-D=T-2*D=-2­*D, откуда К=-2. Пример легко получается чередованием одинаковых чисел со знаком + и -.

б) Сложим один столбец. Расчет его уже был. К*Н(1)=Т+11*Н(1)=11*­Н(1), К=11 Но вот придумать пример, с таким К, не получается, даже для меньших квадратов. Более того Т=0, а Н и S не равны 0 тоже не получается. :) Попробуйте, например для 3*3 К=1 или для 4*4 К=2

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
Макс-2018 [38]
пример для варианта б) все единицы, а один столбец из -12.
Итого ответ 24-2+11=33
 более года назад
комментировать
3

Обозначим сумму чисел в любой из строк S, а элементы таблицы, занимающие эту строчку, а(i), где i - натур. число от 1 до 13, обозначающее индекс элемента строки. Тогда, согласно условию, для всех а(i) верно равенство

K*а(i) = S - а(i).

Если сложить все подобные равенства для каждого элемента выбранной строки, то получим

K*S = 13S - S, откуда

S*(K - 12) = 0, из чего либо

К = 12, либо

S = 0.

И действительно, если все элементы таблицы равны одному и тому же числу, то коэффициент К будет равен 12.

Если же S = 0, то из равенства K*а(i) = S - а(i) получаем

K*а(i) = -а(i), откуда

К = -1 (а(i) не равно нулю по условию).

Такое возможно, если таблица заполнена одинаковыми числами, назовем их х, кроме 13-ти элементов, расположенных на одной из диагоналей таблицы, равных по (-12х).

Таким образом, сумма всех К, при которых выполняются описанные в задаче условия,

(12 - 1) = 11.

Макс-2018 [38]
про столбцы забыли.  более года назад
Макс-2018 [38]
про столбцы забыли.K*а(ij) = S(i)-а(ij)+Н(j)-а(ij­). Н(j) сумма столбца, Т - сумма таблицы.
Сложим первый столбец. K*а(11) = S(1)-а(11)+Н(1)-а(11­), K*а(21) = S(2)-а(21)+Н(1)-а(21­)...,K*а(13 1) = S(13)-а(13 1)+Н(1)-а(13 1) Получим К*Н(1)= Т-Н(1)+13*Н(1)-Н(1)=­Т+11*Н(1). Теперь сложим остальные столбцы. Получим К*Т=13*Т+11*Т=24Т, откуда К=24. Это вариант если Т не равно 0. Пример все числа одинаковые.
Рассмотрим варианты когда Т=0
а) Сложим числа по диагонали.
K*а(11) = S(1)-а(11)+Н(1)-а(11­), K*а(22) = S(2)-а(22)+Н(2)-а(22­),...K*а(1313) = S(13)-а(13 13)+Н(13)-а(13 13). Получим К*D=T-D+T-D=T-2*D=-2­*D, откуда К=-2. Пример легко получается, чередованием одинаковых чисел со знаком + и -.
б) Сложим один столбец. Расчет его уже был. К*Н(1)=Т+11*Н(1)=11*­Н(1), К=11 Но вот придумать пример, с таким К, не получается, даже для меньших квадратов. Более того Т=0, а Н и S не равны 0 то же не получается. :) Попробуйте, например для 3*3 К=1 или для 4*4 К=2
 более года назад
Макс-2018 [38]
про столбцы забыли.K*а(i\j) = S(i)-а(ij)+Н(j)-а(ij­). Н(j) сумма столбца, Т - сумма таблицы.
Сложим первый столбец. K*а(11) = S(1)-а(11)+Н(1)-а(11­), K*а(21) = S(2)-а(21)+Н(1)-а(21­)...,K*а(13 1) = S(13)-а(13 1)+Н(1)-а(13 1) Получим К*Н(1)= Т-Н(1)+13*Н(1)-Н(1)=­Т+11*Н(1). Теперь сложим остальные столбцы. Получим К*Т=13*Т+11*Т=24Т, откуда К=24. Это вариант если Т не равно 0. Пример все числа одинаковые.
Рассмотрим варианты когда Т=0
а) Сложим числа по диагонали.
K*а(11) = S(1)-а(11)+Н(1)-а(11­), K*а(22) = S(2)-а(22)+Н(2)-а(22­),...K*а(1313) = S(13)-а(13 13)+Н(13)-а(13 13). Получим К*D=T-D+T-D=T-2*D=-2­*D, откуда К=-2. Пример легко получается, чередованием одинаковых чисел со знаком + и -.
б) Сложим один столбец. Расчет его уже был. К*Н(1)=Т+11*Н(1)=11*­Н(1), К=11 Но вот придумать пример, с таким К, не получается, даже для меньших квадратов. Более того Т=0, а Н и S не равны 0 то же не получается. :) Например для 3*3 К=1 или для 4*4 К=2
 более года назад
Макс-2018 [38]
про столбцы забыли.  более года назад
Светлана02­02 [180K]
Я восприняла задание так, что каждый элемент таблицы, умноженный на коэффициент К, равен сумме элементов строки, в которой он расположен, без него самого, и он же равен сумме элементов столбца, в котором он расположен, за исключением его самого.  более года назад
комментировать
0

У меня получились только два возможных значения К:

  1. К=12, если все числа в таблице 13 на 13 будут целыми и при этом еще и одинаковыми, то условие задачи будет выполнено.
  2. К=-1, если таблица будет состоять из единиц, а все числа по диагонали будут равны минус 12, то тогда тоже условие задачи будет выполнено.

Сумма этих двух возможных значений К=12-1=11

0

Я согласна с первой частью, с учетом столбцов 24. А вот дальше, наверное, нужно исходить, что по 13 элементов в строке и столбце. То из уравнения S(24-k)=0, S=0 при к= количеству элементв. Тогда получается 24+13=37

0

С первой частью я согласна. К=24.

Из уравнения S (24-k)=0. S=0 при каких условиях 13*13 таблица, то есть по 13 элементов в строке и по столбцам.Может при К=13. И тогда вариант 37. Но не уверена.

Макс-2018 [38]
К=24 и К=-2 установлены и теоретически и практически. К=11 - теоретически, но не составлен пример. К=13 нет доказательства у Вас, да и примера.  более года назад
комментировать
Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация
OpenID