Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
5

Как решить задачу из кенгуру для 7-8 класса?

Карина1558 [6] 7 месяцев назад

Пожалуйста помогите решить задачу!)

В треугольнике ABC проведена медиана BM. Известно, что угол АМВ=45°. На отрезке ВМ выбрана точка К такая, что АВ=КС. Оказалось, что ВК=1. Найти АС.

А. 1

Б. ?2

В. 1,5

Г. ?3

Д. 1.75

bezdelnik [28.9K]
А. Б. В. Г. Д. это варианты ответов ?  7 месяцев назад
комментировать
4

Дано:

<AMB=45;

AB=KC;

BK=1;

AC=?;

Предисловие:

Для решения данной задачи, будем пользоваться теоремой косинусов. Формула теоремы косинусов:

Решение:

Находим угол KMC=180-45=135­;

Теперь подставляем значения в теорему косинусов.

Из треугольника ABM:

AB^2=BM^2+AM^2-2*B­M*AM*cos45;

Следует учесть, что: BM=MK+1(из условия);

Из треугольника MKC:

KC^2=KM^2+MC^2-2*K­M*MC*cos135;

По условию, KC=AB, приравниваем уравнения.

(MK+1)^2+AM^2-2*(M­K+1)*AM*cos45=KM^2+MC­^2-2*KM*MC*cos135;

cos45=sqrt(2)/2; cos135=-sqrt(2)/2;

Сокращаем:

2MK+1-MK*AM*sqrt(2­)+AM*sqrt(2)=MK*MC*sq­rt(2);

Учтём, что: AM=MC;

2MK+1=AM*sqrt(2)+2­*MK*AM*sqrt(2);

2MK+1=AM*sqrt(2)*(­1+2*MK);

(2MK+1)/(1+2*MK)=A­M*sqrt(2);

1=AM*sqrt(2);

AM=1/sqrt(2);

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножим на sqrt(2);

AM=sqrt(2)/2;

AC=2AM=2*sqrt(2)/2­=sqrt(2);

Ответ:

Б) корень из 2;

Важно:

sqrt=корень;

Если мой ответ был полезен, или просто вам понравился, вы всегда сможете его поддержать, нажав на пальчик вверх. Спасибо за внимание.

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
Александр Прыгичев [920]
Для 8 класса теорема косинусов, думаю, будет сложновато....
Когда я приводил решение (см ниже), я исходил из этого соображения.
 7 месяцев назад
комментировать
2

По моим вычисления должно получиться √2

Решение

Опустим перпендикуляры из точек K и B на сторону AC.

Пусть L и D - основания перпендикуляров.

Поскольку угол AMB равен 45, высота KL будет равна отрезку LM

По той же причине BD = DA

Вычислим длину KC:

KC^2 = KL^2 + (KL + MC)^2 (1)

BA^2 = DA^2 + (DA + AM)^2 (2)

Кроме того, нам известно, что BM - KM = 1, AB = KC, AM = MC

Подставляем в формулы (1) и (2)

Получаем

AB^2 = KL^2 + (KL + AM)^2 (3)

AB^2 = DA^2 + (DA + AM)^2 (4)

Из (3) и (4) получаем

KL^2 + KL^2 + 2KL*AM + AM^2 = DA^2 + DA^2 + 2DA*AM + AM^2

Сокращаем

2KL^2 + 2KL*AM = 2DA^2 + 2DA*AM

KL^2 + KL*AM = DA^2 + DA*AM

KL^2 + AM*KL = DA^2 + AM*DA

KL^2 - DA^2 = AM*DA - AM*KL

(KL + DA)(KL - DA) = AM(DA - KL)

Откуда либо KL + DA + AM = 0 чего не может быть, либо DA = KL

Замечаем, что BM = √2*(DA + AM), KM = √2*KL, BM - KM = 1 => √2(DA + AM - KL) = 1

И, наконец, √2*AM = 1, но, поскольку AC = 2AM, получаем AC = 2/√2 = √2

2

Данная задача может вызвать трудности не только у учеников 7-8 классов, но и взрослых людей, которые заходят вдруг им помочь или проверить свои знания. Решать задачу довольно сложно, плюс ко всему объем работы тоже не малый. Вот как выглядит решение этого задания:

1

Когда я решил задачу, с удивлением увидел, что длина медианы ВМ, и соответственно длины сторон АВ и ВС совершенно не влияют на условие задачи и на решение. К сожалению, у меня не было времени написать сюда своё решение, а пока я собрался, уже было дано два ответа, оба правильные. Но, к сожалению, рисунок, приведённый Sadness, не даёт правильного представления о форме треугольника, тем более, уголь 135° он обозначил как 45°. К тому же он использовал теорему косинусов, с которой ученики 7-8 класса ещё не знакомы.

Я хочу дать правильное представление о форме треугольника, и показать, что задача не зависит от длины медианы ВМ. К сожалению я не владею программами, позволяющими рисовать, поэтому придётся объяснить "на пальцах", а Вам начертить самим.


Начертим координатные оси (масштаб желательно выбрать покрупнее). В начале координат ставим точку М. В точке с координатами (-0,5; 0,5) ставим точку А, в точке с координатами (0,5; -0,5) ставим точку С. На положительном направлении оси ординат (Y) в любом, совершенно произвольном месте ставим точку К, и выше точки К на 1 ставим точку В. Соединяем отрезками прямых точку В с точками А и С. Асё, чертёж готов.


Для удобства изложения решения повернём рисунок на 45° против часовой стрелки, чтобы сторона АС приняла горизонтальное положение. Продолжим сторону АС влево, за точку А. Из точек В и К опустим перпендикуляры ВВ' и КК' на продолжение стороны АС. Тогда АВ - гипотенуза прямоугольного треугольника ВВ'М, КС - гипотенуза прямоугольного треугольника КК'С, и для решения задачи достаточно теоремы Пифагора.

Обозначим половинки основания АМ=МС через х, а отрезок КМ - у.

Тогда КС=√((у/√2)^2+(у/√2+­х)^2), AB=√((y+1)/√2)^2+((y­+1)/√2-x)^2).

Получаем простое уравнение:

√((у/√2)^2+(у/√2+х)^­2)=√((y+1)/√2)^2+((y+­1)/√2-x)^2);

(у/√2)^2+(у/√2+х)^2=SHY/√2)^2+((y+1)/√2­-x)^2;

y^2/2+y^2/2+(√2)*x*y­+x^2=y^2/2+y+1/2+y^2/­2+y+1/2-(√2)*x*(y+1)+­x^2;

(√2)*x*y=y+1/2+y+1/2­-(√2)*x*(y+1);

(√2)*x*(2*y+1)=2*y+1­;

(√2)*x*(2*y+1)-2*y+1­=0;

(2*y+1)*(√2)*x-1)=0;

очевидно, что (2*y+1) не равно нулю, значит на это выражение можно сократить.

Остаётся (√2)*x-1)=0, откуда х=1/√2=(√2)/2.

АС=2*(√2)/2=√2

1

Начнём с рисунка. Когда начинал его чертить, не знал, что нужно будет указать угол, примерно равный 45 градусов, поэтому пришлось перечерчивать чертёж заново, начиная с рисования угла в 45 градусов.

1) Начнём распутывать это дело с того, что имеем. Если развёрнутый угол равен 180 градусов, то значит CMK равен 180-45=135 градусов.

2) Для удобства отметим равные длины сторон одинаковыми буквами, то есть как X и Y.

А Z пусть обозначает длину отрезка KM.

2) Существует теорема косинусов:

a2 = b2 + c2 – 2bc cosα

Получается что мы можем составить два таких уравнения, то есть для треугольника ABM и для треугольника CKM:

Для ABM: X² = Y² + (Z+1)² - 2Y(Z+1)cos(45°)

Для CKM: X² = Y² + Z² - 2YZcos(135°)

Так как у нас в левых частях обоих уравнений одно и то же, то приравниваем одно уравнение к другому:

Y² + (Z+1)² - 2Y(Z+1)cos(45°) = Y² + Z² - 2YZcos(135°)

два сокращают друг друга, а скобки (Z+1)² раскрываем, получая Z²+2Z+1.

Z² + 2Z + 1 - 2Y(Z+1)cos(45°) = Z² - 2YZcos(135°)

Заменим значения косинусов на соответствующие им числа:

cos(45°)=√2/2, а **cos(135°)=(-√2/2)*­*

Итак, заменяем:

Z² + 2Z + 1 - 2Y(Z+1)√2/2 = Z² - 2YZ(-√2/2)

Далее раскрываем скобки:

Z² + 2Z + 1 - (√2)*YZ - (√2)*Y = Z² + (√2)*YZ

Два Z² сокращают друг друга, и остаётся:

2Z + 1 - (√2)*YZ - (√2)*Y = (√2)*YZ

2Z + 1 - (√2)*Y = (√2)*YZ*2

2Z + 1 = (√2)*YZ*2 + (√2)*Y

2Z + 1 = (√2)*Y*(2Z+1)

(2Z + 1) = (√2)*Y*(2Z+1)

Сокращаем (2Z + 1)

1=Y*(√2)

Y=1/(√2)

AC = 2Y = 2/(√2) = √2

Ответ: AC = √2.

Если выбирать из вариантов, то видимо это вариант Б, где нужно знак вопроса заменить значком корня .

1

Уже 25 лет проходит этот международный математический конкурс, названный его создателем австралийским учителем математики по имени сумчатого животного Кенгуру. В 2018 году полюбившийся многими учениками конкурс, прошёл 15 марта 2018-го. Вот официальный сайт конкурса, где можно увидеть результаты конкурса и узнать нужную информацию по нему.

Хочу заметить, что результаты можно будет узнать через месяц после окончания конкурса.

Главной целью конкурса является привлечь и заинтересовать школьников решать задачи по математике.

Решить задачу из этого конкурса для возрастной группы 7-8 классов в принципе не очень сложно. Но для её решения надо быть хорошо подготовленным и немного поломать над задачей голову.

Решаем предложенную задачу по теореме косинусов. Вот наш треугольник АВС:

Сначала составляем уравнение для треугольника АВМ.

Затем составляем уравнение для треугольника МКС:

После этого проделаем следующие математические действия:

В результате получаем ответ на эту задачу конкурса "Кенгуру", который стоит в Вашем вопросе под буквой Б) √2 - корень из двух.

1

Вариант решения задачи.

Опускаем перпендикуляры из K и B на сторону AC. L и D принимаем за основание перпендикуляров.

∠ AMB = 45°, высота KL = LM, значит, и BD равно DA.

Находим длину КС:

Известно, что BM - KM = 1, AB равно КС, АМ равно МС.

Подставим в формулы (1) и (2):

Теперь сокращаем:

KL + DA + AM = 0 чего не может быть, либо DA = KL

Обращаем внимание на:

Получаем результат:

Верный вариант ответа - Б, то есть, √2.


Ежегодно конкурс "Кенгуру" привлекает многих детей, являясь неким толчком к знаниям и мотивацией для учебы.

1

Для решения задач из Олимпиады Кенгуру нужно хорошо знать геометрию, задача приведенная в вопросе, предложена ученикам седьмых-восьмых классов.

Важно вспомнить теорему косинусов. Правда не знаю в каком классе ее сейчас изучают.

Вот рисунок для наглядности.

Далее решение задачи.

0

Правильным ответом на задачу из кенгуру для учеников 7-8 класса общеобразовательных школ, где в треугольнике ABC проведена медиана BM, при этом угол АМВ=45°, а на отрезке ВМ выбрана точка К такая, что АВ=КС, ВК=1

правильным ответом будет √2.

Решение задачи заключается в следующем:

Необходимо применить теорему косинусов. Для этого составим уравнение для треугольника АВМ следующим образом:

После чего составим составим уравнение для треугольника МКС следующим образом:

Затем нам надо совершить следующие математические операции:

Вот у нас и получился ответ!

0

Чтобы решить данную задачку для 7-8 классов, используем теорему косинусов. Составим уравнение для треугольника АВМ:

А также для треугольника МКС:

Затем следует приравнять и преобразовать полученные равенства:

Решение найдено.

Правильный ответ на эту задачу из математического конкурса "Кенгуру": Б) √2

Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация
OpenID