Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
3

Какова минимальная длина пути мухи?

FEBUS [1.2K] более года назад

Внутри коробки размером 36×48×80 летает муха.

Побывав на каждой грани, она возвращается в исходную точку.

Какова минимальная длина такого пути?

бонус за лучший ответ (выдан): 7 кредитов
Юрий Па [10.2K]
у меня минимальная длина пути пока что получилась 2 метра? Ваш путь короче ?  более года назад
duselldorf [3.9K]
212?  11 месяцев назад
комментировать
3

Будем исходить из того, что, находясь в любом углу прямоугольного параллелепипеда коробки, муха всеми своими шестью лапами пребывает сразу на трёх гранях, по две ноги на каждой. Чтобы добраться до остальных трёх граней, ей нужно достичь угла, расположенного по диагонали, в котором эти грани сходятся.

Если мы имеем дело с обычной картонной коробкой, то надо иметь ввиду, что при полной темноте мухи не летают. Поэтому ей придётся ползать по граням. В таком случае её оптимальный путь должен проходить по зелёной дорожке через середину ребра противолежащей грани, имеющую наибольшую длину, и от неё в намеченный угол.

Весь путь с возвращением будет равен 262.

Если путь будет проходить через середину более короткого ребра по синей дорожке, то длина пути увеличится:

Если же коробка имеет прозрачные стенки и муха может летать, то её кратчайший полёт по диагонали из угла в угол займёт:

И с учётом обратного пути получится 200.


В условиях задачи не указано в чем измеряются размеры это могут быть и сантиметры, и метры.

http://dereksiz.org/­i-m-smirnova-v-a-smir­nov.html?page=2

система выбрала этот ответ лучшим
FEBUS [1.2K]
Муха летает, такое условие.
А это неверное утверждение -
"оптимальный путь должен проходить ... через середину ребра противолежащей грани".
 более года назад
Вова маленький [96.6K]
Да, безграмотная попалась муха. Не знает, что можно летать в темноте и строить развёртки.
http://elementy.ru/p­roblems/997/Kratchay­shie_puti_na_mnogogr­annikakh
 более года назад
FEBUS [1.2K]
Некоторым шибко грамотным противопоказано решать задачи ...
Если есть желание, надо посидеть, подумать ..., а не писАть всякую чушь.
 более года назад
комментировать
2

Вот я на рисунке обозначил точки и размеры коробки.

Начало отсчета пусть будет в точке О. Размеры коробки по осям (x; y; z) = (36; 80; 48)

Координат точек мы не знаем, поэтому обозначим их переменными.

A1(x1; 0; z1); A2(x2; y2; 0); A3(36; y3; z3); A4(x4; 80; z4); A5(x5; y5; 48); A6(0; y6; z6)

Длины отрезков находим по известной формуле:

A1A2 = √[(x2-x1)^2 + y2^2 + z1^2]

A2A3 = √[(36-x2)^2 + (y3-y2)^2 + z3^2]

A3A4 = √[(36-x4)^2 + (80-y3)^2 + (z4-z3)^2]

A4A5 = √[(x5-x4)^2 + (80-y5)^2 + (48-z4)^2]

A5A6 = √[x5^2 + (y6-y5)^2 + (48-z6)^2]

A6A1 = √[x1^2 + y6^2 + (z6-z1)^2]

Нам надо минимизировать функцию

S = A1A2 + A2A3 + A3A4 + A4A5 + A5A6 + A6A1

Но как это сделать при таком количестве независимых переменных - остается совершенно непонятно.

FEBUS [1.2K]
Ну, можно и так. Но, слишком уж сложно.
Задача школьная. Не стандартная, конечно.
 более года назад
Mefody66 [28.6K]
Ага, школьная! Попробуйте доказать, что все 6 точек находятся в одной плоскости.
Я не знаю, как это доказать.
 более года назад
FEBUS [1.2K]
Это как раз не трудно.  более года назад
комментировать
2

Полагаю, муха должна лететь от одного угла коробки до противоположного по объемной диагонали.

Стартовая вершина параллелепипеда принадлежит сразу трем граням, финишная - трем другим.

Минимальный путь равен длине диагонали = sqrt(36*36+48*48+80*­80)см = sqrt(10000)см=1метр.

Любое отклонение от этой траектории удлинит её.

FEBUS [1.2K]
Ну, конечно, неверно. Она же должна еще и вернуться. Это во-первых.
Во-вторых, почему "отклонение удлинит"? Не очевидно.
 более года назад
KKRV [10.1K]
Да, согласен, что это не строгое доказательство. Наверно надо взять производные длины пути "туда" по каждому сдвигу координат старта и финиша и они окажутся везде положительными кроме нулевых при старте и финише на диагонали, что докажет глобальный экстремум. Для пути "обратно" можно попробовать тот же подход.  более года назад
Юрий Па [10.2K]
а муха может вернуться по тому же пути ,или нет ? Если может,то получится 2 метра-по моему неплохо. Так может или нет?  более года назад
KKRV [10.1K]
Если подходить формально, то муха в виде материальной точки может вернуться по чуть-чуть другому пути, почти что бесконечно близкому к пути "туда" и суммарный путь всегда может быть меньше, чем 2м+эпсилон, где эпсилон - сколь угодно малое число.  более года назад
комментировать
1

Ну рисунок конечно жуткий вышел с одной стороны, но из него можно понять,что секущая плоскость проходит через 2 противоположных ребра,длина которых 36 сантиметров. Допустим муха летает в этой плоскости по сторонам ромба,который я выделил красным цветом. Длина каждой из четырёх сторон ромба получается 50 сантиметров,муха летает по сторонам ромба и точки её посадки это середины двух рёбер длиной 36 сантиметров, и центры граней 48х80 сантиметров.Периметр ромба и соответственно длина пути мухи 2 метра.

Если взять другие противоположные рёбра и через них провести секущую площадь,нарисовать подобный ромб уже в этой секущей плоскости,то длина этого маршрута будет также 2 метра. Всего есть три таких равновеликих варианта

FEBUS [1.2K]
Ну, да. Для этих случаев все так.  более года назад
комментировать
1

Ну я,прочитал в тегах,что задача на геометрию а не на алгебру.

Поэтому начал с того что провёл секущую плоскость,пересекающ­ую все грани коробки. А уже в этой секущей плоскости провёл отрезки её пути.Получился замкнутый путь,длина которого 2 метра.Я решил ,что это не кратчайший путь, изменил секущую плоскость,но и с этой секущей плоскостью получил 2 метра.

Нарисовать к сожалению не получается,да и пока что нет желания,с учётом того,что возможно это не кратчайший путь.

FEBUS [1.2K]
Хороший подход. Рисунок же есть.  более года назад
комментировать
Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация
OpenID