Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
3

Задача. Объем пересечения двух цилиндров разных диаметров?

smog2605 [11.9K] 9 месяцев назад

Имеются два цилиндра диаметров D и d. Чему равен, общий для двух цилиндров, объем перпендикулярного пересечения фигур?

Расчет, формула.

Winiki [7.6K]
Ох, ничего себе вопросики пошли. Я инженерную графику изучал на первых курсах - в начале 80-х. И всё-таки для вычисления объёмов одной только информации о диаметрах не достаточно. необходимо знать и высоту каждого - H и h. Как иначе? ;-)  9 месяцев назад
smog2605 [11.9K]
Имеется в виду тот объем, который общий для двух цилиндров. То есть зона их пересечения.  9 месяцев назад
комментировать
3

Задача выставлена в теме образование, поэтому будут рассмотрены различные варианты решений.

Рассмотрим "чертеж" трех видов данного пересечения.

Как будет выглядеть зона общая для двух цилиндров? Предположим что у нас значительная разница между диаметрами цилиндров. Тогда эта фигура будет представлять стержень диаметром d, длиной D, с закругленными торцами радиусом R.

Соответственно из схемы можно рассчитать две вспомогательных величины T и k, которые понадобятся в дальнейшем.

Вариант №1

Расчет через площадь прямоугольника.

Рассмотрим верхнюю часть детали, которую рассечем произвольной плоскостью. В сечении мы получим прямоугольник. Суммируя все эти площади, получим половину объема детали.

Примем размеры прямоугольника "а" и "b"

Тогда

Где "X" интегрируемый параметр, определяющий положение секущей плоскости.

Объем вычисляемой детали получим.

Вариант №2

Расчет через объем криволинейных призм.

Вырежем "маленькую" криволинейную призму.

Одна из ее сторон будет представлять криволинейную поверхность (параболическую).

Из первого варианта решения следует, что параметрическое уравнение кривой полученной пересечением горизонтальной плоскостью с данной поверхностью, примет следующий вид, где t определяет положение секущей плоскости.

Отсюда:

Рассмотрим схемы интегрирования при данных параметрах. Эти значения будут легко просматриваться на схемах, что облегчает процесс понимания:

Запишем интеграл "маленькой" призмы в более компактном виде.

Аналогично происходит расчет "большой" призмы.

Развернем фигуру на 90 градусов. Уравнение "параболы" несколько изменится.

Запишем интеграл "большой" призмы в более компактном виде.

Общий объем фигуры составит.

Вариант №3

Расчет через объем торцев.

Объем фигуры можно составить с объема цилиндра диаметра d и длиной 2T, а также двух закругленных торцев.

Общий объем составит.

Сверим результата расчета разными способами, при D=50 и d=40.

Рассмотрим частный случай D=d

Сделаем проверку D=d=50

Интересно, а можно ли найти объем пересечения двух одинаковых цилиндров не прибегая к интегрированию?

Вернемся к первому варианту расчета. Для одинаковых диаметров во всех сечениях всегда будет квадрат. Если бы эта фигура была шаром, то во всех сечениях была бы окружность.

Рассмотрим экваториальное сечение.

Площадь квадрата 4r^2

Площадь окружности pi*r^2

Во всех сечениях соотношение площадей будет одинаковым. 4r^2/pi*r^2=4/pi

Следовательно таким же будет и соотношение объема нашей фигуры с объемом шаром диаметра d.

Ссылка на макет.

Евгений трохов [20.6K]
Грандиозно.Заслуженн­ый +  8 месяцев назад
комментировать
Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация
OpenID