Написание возможно и через дефис и раздельное. Нам тут просто нужно отталкиваться от контекста.
Поскольку написание зависит от того, к какой части речи в предложении будет относиться наше слово.
Сейчас на примерах разберем.
1 Слово по-другому может выступать в качестве наречия и тогда писать нам его следует через дефис. Поскольку наречия, заканчивающиеся на -ому, -ему , -ски всегда пишутся через дефис ( по-другому, по-божески, по-хорошему)
Я не мог поступить ( как?) по-другому.
2 Если же слово по другому является в предложении прилагательным с зависимым словом, то напишем мы его раздельно.
Я шла по одному берегу реки, а Наташа шла( по какому ?) по другому берегу.
Для того, чтобы правильно ответить на поставленный вопрос, нужно знать текст, где фигурирует данное слово. Ведь правильны оба способа правописания.
Если данное слово представляет собой часть речи наречие, т.е. отвечает на вопрос "как?", то необходимо воспользоваться следующем правилом. Наречие, заканчивающиеся на "-ому", с приставкой "по" пишутся через дефис.
Наречие: по-другому.
Если в предложении данное слово отвечает на вопрос "по какому?", вы можете заменить его прилагательным, вставить между "по" и "другому" частицу или предлог, то по части речи это прилагательное. Пишется раздельно.
По другому и по-другому - оба написания слов существуют в русской орфографии. Выбор раздельного и дефисного написания зависит от смысла контекста и от того, к какой части речи принадлежат эти слова.
Если слово "по другому" определяет существительное, то это местоимение, которое пишется раздельно с предлогом "по".
Мы перейдем на ту сторону по другому мосту.
Рассмотрим другое предложение.
Он поступит по-другому, несмотря на мои советы.
Поступит как? по-другому.
Слово "по-другому" поясняет глагол, отвечает на обстоятельственный вопрос и не изменяется. Это наречие, которое образовано с помощью приставки и суффикса от однокоренного местоимения:
другой - по-другому.
Наречия с приставкой по- и суффиксом -ому/-ему пишется через дефис:
Слово "по другому" пишется в разных случаях и с дефисом и без него. Всё зависит от того какой частью речи является сочетание "по другому". Если в предложении сочетание "по другому" отвечает на вопрос как? - это, конечно, наречие и пишется оно через дефис. К примеру, можно наглядно показать следующее предложение с наречием "по-другому":
Учитель сказал Пете решить задачу по-другому.
Если же сочетание "по другому" является в вашем предложении прилагательным с предлогом и соответственно отвечает на вопрос какой?, то в этом случае дефис между прилагательным и предлогом не нужен. Пример предложения с прилагательным и предлогом:
Катя решила поехать к бабушке по другому маршруту.
Написание слова будет зависеть от контекста предложения. Если его не рассматривать, то это слово можно считать наречием (отвечает на вопрос "как?") с приставкой "по", которая пишется через дефис: "по-другому". Наречия, которые образованны от прилагательных, в данном случае от прилагательного "другой", которые при этом оканчиваются на -ому, -ему, -ски, -и и другое, с приставкой "по" пишутся через дефис.
Пример: Переставь мебель по-другому.
Если же в предложении есть зависимые слова, а "другому" является прилагательным, то пишется отдельно.
Пример: Сделай салат по другому рецепту. "Другому" будет прилагательным с зависимым словом "рецепт". Пишем отдельно.
"По другому" и "по-другому" - оба варианты написания являются правильными.
Все зависит от контекста предложения.
Рассмотрим на таком примере.
Игорь шел по одному берегу реки, а Анна по другому.
В этом предложении у нас есть прилагательное "другому" (отвечает на вопрос какому?) и приставка "по", значит в таких случаях будет писаться без дефиса.
Пример другого предложения:
Иван поступил по-другому.
В данном случае "по-другому" будет наречием и будет отвечать на вопрос "как". Иван поступил как? - по-другому. В этом случае "по-другому" пишем через дефис.