Как пишется слово: "по другому" или "по-другому­"?

В современном русском языке есть оба варианта написания, которые зависят от того, какой частью речи эти слова являются:

• раздельно "по другому", если это прилагательное, согласующееся с существительным с предлогом "по", напр., Пройдите по другому мосту (по какому? мосту),
• через дефис "по-другому", если перед нами наречие образа действия, напр., Выполни это задание по-другому (как?).

Для второго случая небольшое "правило-запоминалка­":

Если мы имеем дело с прилагательным, то пишем раздельно - "по другому".

Автомобиль развернулся и поехал (по какому?) по другому пути.

Если мы имеем дело с обычным наречием, то пишем через дефис " по-другому".

Прохор не искал лёгкого пути и поэтому решил эту сложную задачу совсем (как?) по-другому.

Написание слова будет зависеть от контекста предложения. Если его не рассматривать, то это слово можно считать наречием (отвечает на вопрос "как?") с приставкой "по", которая пишется через дефис: "по-другому". Наречия, которые образованны от прилагательных, в данном случае от прилагательного "другой", которые при этом оканчиваются на -ому, -ему, -ски, -и и другое, с приставкой "по" пишутся через дефис.

Пример: Переставь мебель по-другому.

Если же в предложении есть зависимые слова, а "другому" является прилагательным, то пишется отдельно.

Пример: Сделай салат по другому рецепту. "Другому" будет прилагательным с зависимым словом "рецепт". Пишем отдельно.

Слова, оканчивающиеся на -ому, -ему и -ски пишутся через дефис, т.е.

по-другому,

по-моему,

по-ленински

так мне сказала моя соседка учитель русского языка и это прочно засело в памяти.

Дополню, что написание зависит от смысла текста. Если предложение будет "поезд пошёл по другому пути" то, конечно, в этом случае дефис не нужен.

Ещё со школы помню, что приставка "по" с наречиями пишется через дефис, как уже привели тут примеры в ответах:

сделать (как?) - по-другому, по-новому;

А с предлогами пишется раздельно:

идут (по какому?) по другому пути, по новому пути.