Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
1

Как найти угол между прямой и плоскостью в призме?

Mefody66 [26.6K] 2 месяца назад

Еще один из нескольких безумных вопросов. Как это решать?

Про правильную шестиугольную призму ABCDEFA1B1C1D1E1F1 известно, что H=AA1=5 и a=AB=5.

Чему равен синус угла между плоскостью ABC1 и прямой JF1,

если точка J делит отрезок CD в отношении 1:4, считая от точки C?

Вот примерный рисунок:

бонус за лучший ответ (выдан): 10 кредитов
3

Для начала чисто формальные рассуждения. Полскость АВС1 боле полно назвать плоскость АВС1F1. Из точки J опускаем перпендикуляр (JK) на эту плоскость. Прямая F1K - проекция прямой JF1 на плоскость АВС1F1. Искомый угол KF1J, и синус его равен JK/F1J.


Вычисление длины F1J. Прежде всего отметим, что диагонали оснований, в частности FC=10.

Соединим отрезком прямой точки F и С. Из точки J проведём перпендикуляр к FС, и на пересечении поставим точку L. Треугольник CJL - прямоугольный с острыми углами 30 и 60°.

Из исходного условия получаем, что СJ =1. Значит СL=0,5, а JL=(√3)/2, FL=9,5.

Длина F1J=√((F1F)^2+(FL)^2+(LJ)^2))=√(5^2+9,5^2+((√3)/2)^2=√116.


Вычисление длины JK.** Проведём через точку J прямую, JM, параллельную FC. Очевидно, что она будет параллельна плоскости АВС1, и расстояния от любой точки прямой JM до плоскости АВС1F1 будут одинаковы. Поэтому вместо расстояния от точки J будем определять расстояние от более удобной точки.

Обозначим центры шестиугольников О и О1 и соединим их отрезком (осью призмы). Обозначим середину АВ точкой N, и через точки N и O проеведём прямую (перпендикулярную АВ). Она пересечёт и отрезок JM (в его середине). Обозначим точку пересечения точкой P. Вот расстояние от точки Р до плоскости АВС1F1 и будеи определять.

Рассмотрим треугольник NO1O. Он прямоугольный, ОО1=5, NО=5*(√3)/2=2,5*√3. По Пифагору находим NO1=2,5*√7. Из точки О проведём перпендикуляр к О1N. Точку пересечения обозначим Q. Треугольники QON и OO1N подобны. Из подобия треугольников OQ=ON*OO1/O1N=2,5*√3*5/(2,5*√7)=5*√(3/7).

Из точки P проведём перпендикуляр PS к O1N (параллельно OQ). Треугольники PSN и OQN подобны.

PN=ON+NP. Очевидно, что NP=JL=(√3)/2. Тогда PN=2,5*√3+(√3)/2=3*√3. Коэффициент подобия треугольников PSN и OQN равен 3*√3/2,5*√3=1,2. Тогда PS равен OQ*12=6*√(3/7)

Синус искомого угла равен 6*√(3/7)/√116=0,364698404.

Для проверки, я вычислил ещё длину F1K, и соответсвенно, косинус искомого угла, равный F1K/F1J. Он получился равным 0,931125703, сумма квадратов синуса и косинуса равна 1. Поскольку это не обязательно, эту часть приводить не буду.


Итак, синус искомого угла равен 0,364698404.

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
epimkin [1.2K]
У меня такой же угол получился. Решал координатным методом  2 месяца назад
FEBUS [618]
Верно. Легче считать JK на проекции.  2 месяца назад
Vitaliy Grab [1.9K]
Есть еще один способ, там меньше выкладок, вообще нет дополнительных построений, но более громоздкие вычисления. Суть такова:
указанное вами JK - есть ни что иное, как высота трехгранной пирамиды ABF1J (с вершиной в точке J). Объем трехгранной пирамиды можно вычислить двумя способами: через высоту и площадь основания: V=Sh/3, и через длины всех ребер.
(формулу не привожу, так как она громоздкая, с кучей верхних и нижних символов, которые здесь нормально не отображаются. ссылку тоже не могу - за это здесь наказывают, так что кому интересно - найдете сами).
Находим длины всех ребер пирамиды: AB, AF1, BF1, JF1, JA, JB. По ним вычисляем объем V пирамиды. Затем по формуле Герона вычисляем площадь S треугольника ABF1, являющегося основанием пирамиды, и вычисляем высоту JK = 3V/S, где V – объем пирамиды, S – площадь ее основания.
Далее вычисляем синус угла.
 2 месяца назад
Rafail [99.1K]
В приведённом мной варианте всё, что нужно знать для решения - геометрия в объёме средней школы. А насчёт выкладок и вычислений это ещё надо посмотреть. Приведите Ваши выкладки и сравним. А насчёт дополнительных построений это Вы "загнули". Провести через точку прячмую, параллельную или перпендикулярную заданной - это настолько элементарно, что даже и построениями назвать нельзя, разве чисто формально.  2 месяца назад
комментировать
2

Рассмотрим несколько упрощенный вариант геометрического решения относительно способа Rafail, а также предложение Vitaliy Grab.

Через точку J образуем плоскость РТК перпендикулярно FС и параллельно СС₁. Проведем перпендикуляр JN к плоскости АF₁С₁В. Следует обратить внимание, точка N находится за пределами четырехугольника АF₁С₁В. Длину отрезка F₁J = √116, как следует из рисунка, относительно несложно определить последовательно из треугольников СКJ, KFJ и FF₁J.

Прямоугольные треугольники РТК и РN J подобны по равенству углов, тогда

JN/РJ = СС₁/РТ.

По теореме Пифагора можно вычислить стороны этих треугольников. РJ = 3*√3, СС₁ = 5, РТ = 2,5*√7. Откуда

JN =3*√3*5/(2,5*√7).

Определяем искомую величину

sinα = JN/ F₁J = 3*√3*5/(2,5*√7*√116) = 0,3646984.

--------------------------------------------------------------------------------­----

Решить задачу можно по способу, предложенному Vitaliy Grab, воспользовавшись формулами, изображенными на среднем рисунке. Явно – вычислений намного больше.

Заслуживает внимания третий вариант решения epimkin(а).

--------------------------------------------------------------------------------­----

Есть четвертый вариант решения задачи, но он тоже более трудоемок (см. нижний рисунок). Делаем развертку тетраэдра JF₁ВС₁. Проводим высоты на боковых гранях из вершины J к ребрам при основании тетраэдра. Затем продляем их до пересечения в точке N (проекции его вершины на плоскость основания).

1

Как загрузить вторую картинку - не знаю, может в комментариях получится

0

Ну вот получилось только так. Может быть длинно, но зато негде ошибиться, кроме как в арифметике. В школе сейчас, кстати проходят координатные методы

epimkin [1.2K]
Наоборот как-то получилось  2 месяца назад
комментировать
Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация
OpenID