Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
1

Как найти угол между прямой и плоскостью в призме?

Mefody66 [26.3K] 2 дня назад

Еще один из нескольких безумных вопросов. Как это решать?

Про правильную шестиугольную призму ABCDEFA1B1C1D1E1F1 известно, что H=AA1=5 и a=AB=5.

Чему равен синус угла между плоскостью ABC1 и прямой JF1,

если точка J делит отрезок CD в отношении 1:4, считая от точки C?

Вот примерный рисунок:

бонус за лучший ответ: 10 кредитов хотите увеличить?
3

Для начала чисто формальные рассуждения. Полскость АВС1 боле полно назвать плоскость АВС1F1. Из точки J опускаем перпендикуляр (JK) на эту плоскость. Прямая F1K - проекция прямой JF1 на плоскость АВС1F1. Искомый угол KF1J, и синус его равен JK/F1J.


Вычисление длины F1J. Прежде всего отметим, что диагонали оснований, в частности FC=10.

Соединим отрезком прямой точки F и С. Из точки J проведём перпендикуляр к FС, и на пересечении поставим точку L. Треугольник CJL - прямоугольный с острыми углами 30 и 60°.

Из исходного условия получаем, что СJ =1. Значит СL=0,5, а JL=(√3)/2, FL=9,5.

Длина F1J=√((F1F)^2+(FL)^2+(LJ)^2))=√(5^2+9,5^2+((√3)/2)^2=√116.


Вычисление длины JK.** Проведём через точку J прямую, JM, параллельную FC. Очевидно, что она будет параллельна плоскости АВС1, и расстояния от любой точки прямой JM до плоскости АВС1F1 будут одинаковы. Поэтому вместо расстояния от точки J будем определять расстояние от более удобной точки.

Обозначим центры шестиугольников О и О1 и соединим их отрезком (осью призмы). Обозначим середину АВ точкой N, и через точки N и O проеведём прямую (перпендикулярную АВ). Она пересечёт и отрезок JM (в его середине). Обозначим точку пересечения точкой P. Вот расстояние от точки Р до плоскости АВС1F1 и будеи определять.

Рассмотрим треугольник NO1O. Он прямоугольный, ОО1=5, NО=5*(√3)/2=2,5*√3. По Пифагору находим NO1=2,5*√7. Из точки О проведём перпендикуляр к О1N. Точку пересечения обозначим Q. Треугольники QON и OO1N подобны. Из подобия треугольников OQ=ON*OO1/O1N=2,5*√3*5/(2,5*√7)=5*√(3/7).

Из точки P проведём перпендикуляр PS к O1N (параллельно OQ). Треугольники PSN и OQN подобны.

PN=ON+NP. Очевидно, что NP=JL=(√3)/2. Тогда PN=2,5*√3+(√3)/2=3*√3. Коэффициент подобия треугольников PSN и OQN равен 3*√3/2,5*√3=1,2. Тогда PS равен OQ*12=6*√(3/7)

Синус искомого угла равен 6*√(3/7)/√116=0,364698404.

Для проверки, я вычислил ещё длину F1K, и соответсвенно, косинус искомого угла, равный F1K/F1J. Он получился равным 0,931125703, сумма квадратов синуса и косинуса равна 1. Поскольку это не обязательно, эту часть приводить не буду.


Итак, синус искомого угла равен 0,364698404.

epimkin [1.1K]
У меня такой же угол получился. Решал координатным методом  14 часов назад
FEBUS [652]
Верно. Легче считать JK на проекции.  12 часов назад
Vitaliy Grab [530]
Есть еще один способ, там меньше выкладок, вообще нет дополнительных построений, но более громоздкие вычисления. Суть такова:
указанное вами JK - есть ни что иное, как высота трехгранной пирамиды ABF1J (с вершиной в точке J). Объем трехгранной пирамиды можно вычислить двумя способами: через высоту и площадь основания: V=Sh/3, и через длины всех ребер.
(формулу не привожу, так как она громоздкая, с кучей верхних и нижних символов, которые здесь нормально не отображаются. ссылку тоже не могу - за это здесь наказывают, так что кому интересно - найдете сами).
Находим длины всех ребер пирамиды: AB, AF1, BF1, JF1, JA, JB. По ним вычисляем объем V пирамиды. Затем по формуле Герона вычисляем площадь S треугольника ABF1, являющегося основанием пирамиды, и вычисляем высоту JK = 3V/S, где V – объем пирамиды, S – площадь ее основания.
Далее вычисляем синус угла.
 10 минут назад
комментировать
Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
Быстрая регистрация
OpenID