Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
-1

Как найти объем параллелепипеда по координатам его вершин?

Mefody66 [26.2K] 1 неделю назад

Задача. Даны 4 точки в пространстве:

A(2, -2, -4); B(3; -6; -6); D (3; 0; -8); A1(-2; -3; -3)

Строим параллелепипед на трех векторах: AB; AD; AA1.

Как найти его объем?

Я посчитал длины этих векторов.

AB = √[(Ax-Bx)^2 + (Ay-By)^2 + (Az-Bz)^2] = √[(2-3)^2 + (-2+6)^2 + (-4+6)^2] = √(1^2 + 4^2 + 2^2) = √(1 + 16 + 4) = √21

Аналогично AD = √21, AA1 = √18 = 3√2.

И перемножил их:

V = AB*AD*AA1 = √21*√21*3√2 = 21*3√2 = 63√2

И мне сказали, что это неправильный ответ.

Что я сделал не так?

бонус за лучший ответ: 10 кредитов хотите увеличить?
Rafail [93.6K]
Эти вектора не перпендикулярны друг другу. Чтобы найти площадь параллелограмма, образуемого двумя векторами, нужно ещё умножить на синус угла между векторами. А чтобы найти объём, нужно еще умножить на синус угла между третьим вектором и плоскостью первых двух векторов. Я уже забыл аналитическую геометрию, всё-таки почти 50 лет прошло, но там получалась довольно простая формула, через определитель (матрицу), т.е. все эти вычисления синусов реально не нужны.  1 неделю назад
Mefody66 [26.2K]
Я вот тут подумал. Есть два подхода к решению:
1) S(осн) = AB*AD*sin(AB; AD)- правильная формула площади основания
V = S(осн)* AA1 - вроде бы правильная формула объема.
2) V = определителю, как Незнайкина советует. Тоже вроде бы правильная формула.
А если эти посчитанные числа окажутся разными - какое выбрать?
Я бы выбрал первое, это более надежный метод. Что скажете?
 1 неделю назад
Незнайкина [1.8K]
Если бы АА1 было перпендикулярно к плоскости основания,то объем бы получился тотже.  1 неделю назад
Rafail [93.6K]
Mefody66. Первое предложение в моём комментарии Вы прочитали. А второе или не прочитали, или я выразился непонятно? Нужно построить проекцию ребра АА1 на плоскость ABCD, найти угол между ребром АА1 и его проекцией, найти синус этого угла, и вое на него ещё умножить Вашу формулу V = S(осн)* AA1.  1 неделю назад
Инкогнито
 Стандартная задача на смешанное произведение.
В школьной редакции - это объем параллелепипеда, натянутого на тройку векторов.
 1 неделю назад
все комментарии (еще 1)
комментировать
1

Ошибка в том, что произведение длин векторов и произведение векторов это разные вещи. Произведение векторов дает на плоскости площадь параллелограмма, то есть произведение длин векторов на синус угла между ними. А в пространстве Ваше решение было бы верным, если бы углы между векторами были прямыми, то есть синус был бы равен 1.

При решении задачи нужно было определить по координатам точек координаты векторов

вектор АВ(1,-4,-2)

вектор АD(1,2,-4)

вектор АА1(-4,-1,1)

и перемножить вектора, удобно матрицей

| 1 -4 -2|

V= | 1 2 -4|= 2+4-4-16+64-2=48

|-4 -1 1|

Mefody66 [26.2K]
Ах, матрицей, вот в чем дело! Огромное спасибо!  1 неделю назад
комментировать
Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
Быстрая регистрация
OpenID