Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
0

Есть ли практические результаты несчетности вещественных чисел?

KKRV [7.4K] 6 месяцев назад

В математике множества натуральных и вещественных чисел имеют разную мощность (алеф-ноль и алеф-один).

Это как-то проявляется в практических разделах математики или в физике?

FEBUS [361]
Абсолютно безграмотная постановка вопроса. Вы, очевидно, не понимаете, что такое практическое применение.
Любое положение из математики имеет практический смысл, даже если он ВАМ не виден.
Вычисление пределов (площадей, объемов и т.д.) опосредственно подразумевает континуальность числовой прямой.
 6 месяцев назад
комментировать
5

Могу добавить за Белодедовым.

В 16 веке два итальянских математика, Кардано и Феррари, нашли способы решения уравнений 3 и 4 степеней.

То есть выразить корни через формулы в радикалах.

В 18 веке Руффини доказал, что уравнения степени 5 и выше в общем случае неразрешимы в радикалах.

В 19 веке Абель нашёл в этом доказательстве неточности и исправил их. Теперь эта теорема называется теоремой Абеля-Руффини.

Это означает, что существуют иррациональные числа, которые вообще нельзя представить никаким нагромождением никаких радикалов любой степени.

Их можно представить только двумя способами: или приближенно, или указать уравнение и сказать, что это число есть корень этого уравнения.

система выбрала этот ответ лучшим
KKRV [7.4K]
Это все верно, но вопрос был не о рациональных/алгебра­ических/трансцендент­ных числах, а о практической важности того факта, что мощность континуума больше мощности счетного множества. Играет ли это какую-то роль в практических применениях математики?  6 месяцев назад
Mefody66 [26.9K]
Да, тут я увлекся в теорию. О практике читай мой второй ответ.  6 месяцев назад
Михаил Белодедов [22.5K]
Ужас в том, что уравнение даже 3й степени в общем виде также неразрешимо в радикалах. Несмотря на всяких там Кардано и т.п.  6 месяцев назад
KKRV [7.4K]
Как это?  6 месяцев назад
Mefody66 [26.9K]
KKRV, я думаю, Михаил имеет ввиду то, что формула Кардано дает нормальный корень, только если вещественный корень один, а остальные два комплексные.
Если же уравнение имеет три вещественных корня, то при вычислении получится отрицательное число под квадратным корнем.
В этом случае приходится для вычисления ВЕЩЕСТВЕННЫХ корней переходить к тригонометрической форме записи КОМПЛЕКСНЫХ чисел.
 6 месяцев назад
комментировать
3

Конкретно про практическое применение мощности множеств.

Древние греки начали изучать иррациональные числа, когда построили диагональ квадрата и внезапно поняли, что её нельзя измерить, то есть выразить как часть длины стороны этого квадрата.

То есть длина диагонали квадрата не входит во множество рациональных чисел.

А потом Архимед экспериментировал с правильным 96-угольником, сделал переход к окружности и получил число Пи, как отношение длины окружности к её диаметру. Выяснилось, что Пи можно представить только приближенно.

Его нельзя представить ни как дробь, ни в радикалах любой степени из любого числа, ни как корень никакого уравнения с рациональными коэффициентами.

Такие числа назвали трансцендентным, что значит "нельзя понять умом".

Второе известное трансцендентное число - е, основание натуральных логарифмов,было получено уже в средние века.

1

Очень много следствий. Ну, например, что все числа отрезка 0..1 нельзя пронумеровать. Или - что существуют числа (на самом деле среди всех чисел их - подавляющее большинство), которые нельзя выразить конечным набором натуральных чисел. И поэтому не надо удивляться, что числа pi (=3,141592653589793...) или sqrt(2) (=1,4142...) можно выразить только приближённо.

KKRV [7.4K]
Числа pi и squrt(2) можно выразить только приближенно если пользоваться дробями, но можно выразить точно в виде формулы или squrt(2) как длину отрезка (диагональ квадрата 1х1). Мой вопрос был про практические следствия несчетности множества вещественных чисел.  6 месяцев назад
Михаил Белодедов [22.5K]
А это и есть практические следствия. Хотя какая у кого практика...  6 месяцев назад
KKRV [7.4K]
пи и корень из 2 можно включить в счетное множество (например, если числа упорядочить в алфавитном порядке по их словесным определениям).  6 месяцев назад
Mefody66 [26.9K]
По словесным определениям любое число можно включить в счётное множество, кроме тех, которые я указал в своём ответе.
Но в математике нельзя переходить на словесные описания чисел. Тогда теряется смысл понятия "мощность множества".
Есть четкие понятия: рациональные числа (которые можно выразить несократимой дробью) и иррациональные (которые дробью выразить нельзя).
Так вот, счетное множество включает в себя только рациональные числа, а континуум - все, и рац. и иррац.
 6 месяцев назад
KKRV [7.4K]
Счетность словесных описаний лишь доказывает существование бесконечного множества чисел, которые невозможно выразить словами (причем мощность множества таких чисел будет алеф-один). При этом мы можем доказывать теоремы относительно любых (произвольных) таких чисел, например (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 будет верно для любых вещественных чисел, даже невыразимых при помощи словесных описаний.  6 месяцев назад
комментировать
0

Сказать напрямую, где используется в других науках (или в разделах математики) понятие разной мощности вещественных и натуральных чисел вероятно трудно..

Но если косвенно, то множество натуральных чисел дискретно, тогда как множество действительных чисел не прерывно..

Сейчас очень сильно развивается раздел дискретной математики и её приложений в технике (понятно почему), кроме того есть понятие дискретной топологии, которая тоже сильно развивается..

Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация
OpenID