Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
2

Конечно ли число точек на окружности? Внутри? Как подсчитать?

BAM-Soft [27.2K] более года назад
бонус за лучший ответ (выдан): 5 кредитов
2

Количество точек на окружности (и на прямой) бесконечно и имеет мощность континуума, как говорят в теории множеств.

Это значит, что оно бесконечно больше, чем количество целых или рациональных чисел на той же координатной прямой.

Множество целых, или натуральных, или даже рациональных, чисел - счетно, имеет множество Алеф-нуль.

Мощность континуума условно считается Алеф-один. Очень интересный вопрос в теории бесконечных множеств:

Существует ли множество, мощность которого больше, чем счетного множества, но меньше континуума?

Пока что ни доказать, ни опровергнуть эту гипотезу не удалось, хотя основатель теории множеств Георг Кантор считал, что такого множества нет.

Следующий вопрос: какова мощность множества точек на плоскости, или, например, внутри окружности? А в шаре?

Так вот, тот же Георг Кантор сначала считал, что мощность точек на прямой Алеф-один, на плоскости Алеф-два, в пространстве Алеф-три, и так далее.

Но потом ему удалось доказать, что мощность точек и на прямой, и на плоскости, и в пространстве одинакова - континуум.

За подробностями отсылаю вас к статье Мартина Гарднера "Иерархия Алефов и сверхзадачи", там это все подробно описано.

Так что ответ на ваш вопрос однозначен: количество точек на окружности равно количеству точек в круге и в шаре.

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
BAM-Soft [27.2K]
С рассуждениями согласен, а вот с выводом готов поспорить, что называется "на пальцах". Утверждение о равенстве двух и более бесконечностей не является истиной до тех пор, пока не доказано научно.  более года назад
Mefody66 [28.2K]
То, что мощность множества точек на окружности, в круге и в шаре одна и та же и составляет континуум, доказано Георгом Кантором лет 150 назад.  более года назад
BAM-Soft [27.2K]
Окружность - часть круга, часть шара, отсюда действует теорема о множествах высшей мощности, т.к. множество точек на окружности является частью (подмножеством) множества точек в круге и в шаре.  более года назад
Mefody66 [28.2K]
Ещё раз повторяю: почитайте статью Гарднера "Иерархия алефов и сверхзадачи". Там изложено доказательство.
А я его вам так навскидку рассказать не могу.
 более года назад
Mefody66 [28.2K]
А то, что окружность есть подмножество круга, не означает, что у них разные мощности. Отрезок тоже есть подмножество прямой, а мощность у них одинакова - континуум.  более года назад
комментировать
12

Вопрос касается не столько геометрии, сколько математики, а точнее относится к области математических софизмов.

В математике точка представляет собой одно из фундаментальных понятий и ее определение:

позволяет приравнять её величину к нолю.

Имея некую величину, площадь S или длину L, мы можем разделить её на другую величину N, чтобы посчитать количество этого самого N.

S/N=?

L/N=?

В нашем случае, значение величины N нулевая, то есть её нет, за N ничего не скрывается. В результате, ничего не имея, мы ничего и не получаем.

Значит ли это, что сложить N с S или с L невозможно и также невозможно поставить точку на окружности или внутри её?

Очевидно, что это не так, поставить точку можно и операцию сложения так же можно произвести. Только результат такого действия ни к чему не приводит, каждая следующая точка ничего не привносит и их можно ставить бесконечное множество. Следовательно, количество точек равно бесконечности.

3

И да и нет :). Все зависит от значения которое вы вкладываете в понятие "точка". В первом значении ответ "бесконечно" а следовательно посчитать невозможно.

Во втором значении ответ "да" для каждой конкретной окружности определенного размера. Для этого варианта достаточно посчитать длину окружности (и площадь круга ограниченного данной окружность) в каких либо линейных (площадных) единицах измерения, и разделить на линейные (площадные) размеры точки, как единицы измерения. Т.е. в данном случае это будет значит количество (число) данных единиц измерения в исследуемом объекте (геометрической фигуре). Формулы длины окружности и площади круга надо? Ну ладно, нехай будут.

BAM-Soft [27.2K]
А разве в математике нет четкого определения, что такое точка? Разночтения вроде в точных науках недопустимы...  более года назад
shurik-ne-­komsomolet­s [16.7K]
ну и первая часть моего ответа которая про первое значение говорит как раз про математическое значение. и ответ "нет" бесконечность посчитать нельзя, можно лишь приблизительно оценить
но поскольку я на теги и категории не смотрю, до я дал и вторую версию :)
 более года назад
BAM-Soft [27.2K]
Во, о том и речь, что "вторая часть ответа" (включая формулы) немного не согласована с тегами и категорией :) иначе формула периметра прямоугольника, которая считается как сумма длин отрезков, являющихся сторонами, теряет смысл. Ведь длина отрезка - это расстояние от точки до точки, при этом точка берется как абстрактный объект. Если измерять это расстояние в точках, получаем тавтологию, когда в одном выражении дважды используется одно и то-же слово в различных значениях. Иначе (если крайние точки отрезка и точка в значении единицы измерения являются синонимами), абстрактный объект обретает длину - тогда для нахождения длины отрезка нужно к расстоянию между точками прибавить длины конечных точек, а на углах мы и вовсе получим "квадратную­" точку, имеющую длину и ширину.
Потому и категория, и теги... ;)
 более года назад
shurik-ne-­komsomolet­s [16.7K]
Ну никто не мешает иметь в голове различение между двумя значениями слова "точка" если сложно для восприятия в письменной записи в текстовой форме можно присвоить каждому варианту значения слова индекс. Или того проще записать размерность единицы длины в сокращенной форме например "тчк". И вообще незачем размерности упоминать в середине текста. Задача решается в общем виде для любой размерности хоть метры хоть парсеки, а дальше уже идет перевод нужные нам единицы измерения, так что я не вижу проблемы для любой геометрической фигуры. Главное помнить что в формуле используется математическое значение слова, размерность всегда вторична и условна  более года назад
Mefody66 [28.2K]
BAM-Soft "А разве в математике нет четкого определения, что такое точка? Разночтения вроде в точных науках недопустимы..."
Как раз нет. Когда детям в 7 классе разделяют алгебру и геометрию, то первое, что объясняют на геометрии - это основные понятия, которые не имеют определения.
Точка, прямая, плоскость и угол. Интересно, что точка - это нуль-мерный объект, прямая - одномерный, плоскость - двумерный, а вот трехмерный объект - пространство - определение таки имеет.
Пространство - это множество всех точек во Вселенной. Ну это самое простое определение, из учебника для детей. На самом деле, конечно, все намного сложнее.
 более года назад
комментировать
1

Бесконечно. Точка - это абстрактный объект не имеющий измерения. Если предположить, что мы расставили конечное число точек на окружности, и нам кажется что больше точек не вместятся, то мы всегда можем увеличить масштаб и увидеть зазоры между поставленными нами точками (так как точки бесконечно малы, они не имеют измерения). Заполнив зазоры, мы снова можем увеличить масштаб и т.д. Аналогично можно доказать, что внутри окружности число точек тоже бесконечно.

BAM-Soft [27.2K]
Так "абстрактный­" или "ничтожно малый" объект? Если абстрактный, то это одно понятие... если ничтожно малый, то имеет измерение в малых числах.  более года назад
комментировать
1

Бесконечно и несчётно, имеет мощность континуума (алеф-один). Количество точек внутри также бесконечно и несчётно и имеет такую же мощность.

Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация
OpenID