Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
2

Как найти область определения и решить уравнение?

Mefody66 [29.4K] 3 года назад

(x^2 + 7x + 10)*√(3x^2 - 10x + 3) = 15 - 2x - x^2

Задача из ЕГЭ, раздел С.

Самое главное - правильно найти область определения. Почему-то никто не может, даже учителя.

бонус за лучший ответ (выдан): 50 кредитов
Андреева Ольга [267K]
Я так понимаю, надо решить 3 квадратных уравнения, и найти область определения? Или все приравнять к нулю? Все корни первых двух? Но там может быть и разрыв в графиках.  3 года назад
Mefody66 [29.4K]
Это не три квадратных уравнения, это одно уравнение.
Причем один трехчлен под корнем.
Нужно найти все х, чтобы левая часть равнялась правой.
 3 года назад
комментировать
3

Итак дано уравнение: (x^2+7x+10)*√(3x^2-10x+3)=15-2x-x^2.

Стандартное условие для определения ОДЗ в уравнениях с корнями чётной степени: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, т.е. в данной задаче 3x^2-10x+3>=0, откуда получаем ОДЗ (x<=1/3 ∩ x>=3).

Стандартный метод решения - изолировать радикал и обе части уравнения возвести в квадрат. Но здесь есть ещё одна тонкость: Чтобы преобразованное уравнение было равносильным исходному, и не появились "лишние корни" нужно чтобы обе части исходного уравнения имели одинаковые знаки. Поскольку в уравнениях всегда берётся арифметический корень, т.е. √(3x^2-10x+3)>=0, то для выполнения условия нужно, чтобы знаки выражений (x^2+7x+10) и (15-2x-x^2) были одинаковы.

Выражение (x^2+7x+10) неотрицательно в бесконечных интервалах x<=-5, и x>=-2 и отрицательно в интервале -5<x<-2.

Выражение (15-2x-x^2) неотрицательно в в интервале -5<=x<=3, и отрицательно в бесконечных интервалах x<-5, и x>3.

Значит оба выражения неотрицательны (равны нулю) при х=-5 (т.е. х=-5 является корнем уравнения) и имеют одинаковый знак (положительный) в интервале -2<=x<=3, и не могут одновременно быть отрицательными.

С учётом этого ОДЗ (х=-5 ∩ -2<=x<=3 ∩ х=3).


Разлагаем квадратные трёхчлены на множители:

(x+2)*(х+5)*√((3x-1)*(х-3))=(х+5)*(3-x).

Возводим обе части в квадрат:

(x+2)^2*(х+5)^2*(3x-1)*(х-3)=(х+5)^2*(3-x)^2.

Поскольку (3-x)^2=(x-3)^2, то сразу заменим:

(x+2)^2*(х+5)^2*(3x-1)*(х-3)=(х+5)^2*(х-3)^2.

В обеих частях есть одинаковые множители (х+5) и (х-3).

Оба они являются корнями, и оба входят в ОДЗ. Сокращаем уравнения на эти множители:

(х+2)^2*(3x-1)=(х-3).

Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим:

3x^3+11x^2+7x-1=0.

Группируем и раскладываем на множители:

(x+1)*(3x^2+8х-1)=0

Получаем третий корень х=-1, входит в ОДЗ.

Сокращаем обе части на (х+1), остаётся:

3x^2+8х-1=0.

Находим еще два корня:

Четвёртый корень (-4-√19)/3 (не входит в ОДЗ).

Пятый корень (-4+√19)/3 (входит в ОДЗ).

Таким образом, уравнение имеет 4 корня: -5, -1, (-4+√19)/3, 3.

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
Mefody66 [29.4K]
Все правильно, только ОДЗ: (х=-5 ∩ -2<=x<=1/3 ∩ х=3).  3 года назад
Rafail [134K]
Да, проскочила опечатка, внимательно не просмотрел. У меня на ноутбуке часто "не срабатывают" какие-нибудь клавиши, и в данном случае я не углядел, что клавиши "1" и "/" не сработали.  3 года назад
FEBUS [1.6K]
"Четвёртый корень (-4-√19)/3 (не входит в ОДЗ)." Это неверно.
ОДЗ = {x ≤ 1/3} ∪ {x ≥ 3}.
 3 года назад
Rafail [134K]
Вы уже забыли, что ОДЗ (х=-5 ∩ -2<=x<=1/3 ∩ х=3).  3 года назад
Mefody66 [29.4K]
Свершилось! Я первый раз наблюдаю, как Febus неправильно решил задачу.
Febus, я нисколько над вами не смеюсь, но это реально редкостный случай, потому что вы на самом деле очень сильный математик.
 3 года назад
все комментарии (еще 1)
комментировать
3

ОДЗ здесь находить необязательно совсем. Можно воспользоваться равносильными преобразованиями

1

Подкоренное выражение (квадратный трехчлен) должно быть неотрицательным. Решая соответствующее уравнение 3x^2 - 10x + 3 = 0, находим область определения. Она от минус бесконечности до 1/3 и от 3 до плюс бесконечности, 1/3 и 3 входят в область определения.

Далее решаем уравнение путем разложения на множители квадратных трехчленов. Получим равносильное уравнение (х+5)(х+2)√(3х-1)(х-3) = (х-3)(х+5). Сразу находим два корня х=3 и х=-5.

Далее возводим обе части в квадрат и после упрощения получим уравнение (х+2)^2 (3х-1) = х-3, раскрываем скобки получим уравнение 3х^3 + 11x^2 +7x -1 =0. Группируем (3х^3 + 3x^2) + (8х^2 + 7x - 1) =0 и разлагаем на множители это уравнение третьей степени, получим уравнение 3х^2(х+1)(8х-1)=0.

Получим еще три корня: х=0, х=-1 и х=1/8. При проверке видим, что корень х=0 лишний корень. Итак ответ -5:-1:1/8:3

FEBUS [1.6K]
 Ну как 1/8 может быть решением?
Неверно, конечно.
3х³ + 11x² + 7x − 1 = (x + 1)(3x² + 8x − 1)
 3 года назад
габбас [164K]
Вы правы, 1/8 же не входит в область определения, я не проверил и написал в ответ лишний корень.
Ответ будет таким: -5; -1; 1.
 3 года назад
Mefody66 [29.4K]
Во-первых, вы ошиблись с правой частью. Она равна -(x-3)(x+5).
Во-вторых, вы неправильно нашли область определения. При x < -5, x > 3 и x принадлежит (-5; -2) слева будет положительное выражение, а справа отрицательное.
Подумайте, каким будет область определения.
 3 года назад
FEBUS [1.6K]
1/8 входит в ОДЗ, но не корень уравнения.  3 года назад
комментировать
Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация
OpenID