Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
2

Из чисел от 1 до 100 выбрали три числа. Какие три числа могли быть выбраны?

D3ik [2] 6 месяцев назад

Из чисел 1, 2, ..., 100 выбрали три разных числа. Оказалось, что, зная их сумму, можно определить, что это за числа. Найдите все ответы и докажите, что других нет. Какие три числа могли быть выбраны?

5

Допустим, из множества {1, 2, 3 ... 100} были выбраны числа a, b и с такие, что a < b < c, и их сумма равна N, то есть N = a + b + c.

Тогда N можно представить в виде суммы

(a - 1) + b + (c + 1) при любых a, b и с, кроме а = 1 и с = 100. То есть сумму трех любых чисел, отличных от единицы и ста, нельзя представить единственным способом.


Рассмотрим вариант, когда а = 1 и с ≠ 100.

В этом случае N можно представить в виде суммы

a + (b - 1) + (c + 1), однако, в силу того что выбираются разные числа, должно соблюдаться условие a ≠ b - 1, т.е. b ≠ 2.

При а = 1, b = 2 и с ≠ 100 N можно представить в виде суммы

a + (b + 1) + (c - 1), при этом, опять таки учитывая что выбраны должны быть разные числа, должно соблюдаться условие:

(b + 1) ≠ c и (b + 1) ≠ (c - 1).

Очевидно, что оно будет нарушено при с = 3 и с = 4.

Таким образом, определили две группы чисел, сумму которых можно представить единственным способом:

1, 2, 3;

1, 2, 4.


Перейдем к варианту, при котором а ≠ 1 и с = 100.

В этом случае N можно представить в виде суммы

(a - 1) + (b + 1) + c, при этом (b + 1) должно быть равным c, т.е. b ≠ 99.

При а ≠ 1, b = 99 и с = 100 N можно представить в виде суммы

(a + 1) + (b - 1) + c, при этом (a + 1) не должно равняться ни b, ни (b - 1).

Очевидно, что эти условия не выполняются при а = 98 и а = 97.

Таким образом, определили еще две группы чисел, сумму которых можно представить единственным способом:

97, 99, 100;

98, 99, 100.


Ну и остался последний вариант, при котором а = 1 и с = 100.

В этом случае при b, отличном от 2 и 99, N можно записать в виде

2 + b + 99,

а при b, равном 2 или 99, в виде

3 + b + 98.

Т.о., сумму трех чисел, среди которых находится и 1, и 100, нельзя представить единственным способом.


В итоге получаем, что определить по сумме, что за три числа были выбраны, можно только при следующих вариантах:

1, 2, 3;

1, 2, 4;

97, 99, 100,

98, 99, 100.

система выбрала этот ответ лучшим
Евгений трохов [14.5K]
Блестяще.+  5 месяцев назад
комментировать
1

Абсолютно неверная исходная посылка. Да, сумму равную 6 можно набрать единственным способом (1, 2, 3). Аналогично, сумму, равную 297 можно набрать единственным способом (100, 99, 98). Но чем ближе сумма "к центру", т.е. к среднему арифметическому этих двух крайних сумм (297+6)/2=151,5, т.е. к 151 или 152, тем больше вариантов.

Рассмотрим сумму 151. Если одно число равно 1, то сумму 150 из двух чисел можно набрать 24 способами (т.е. 100+50, 99+51, 98+52...76+74). Если первое число равно 2, то сумму 149 можно набрать 26 способами (100+49, 99+50...75+74), Рассуждая аналогично и перебирая всевозможные комбинации (последняя - первое число 100, а сумму двух других, равную 51 можно составить 25 способами), можно показать, что количество комбинаций из трёх чисел, сумма которых равна 151 равно примерно 2500. Аналогично и для суммы 152. Для других сумм конечно поменьше, но тем не менее количество различных комбинаций очень велико. Так что, как говорится по-русски "неправда Ваша".

1

Могли быть выбраны числа:1,2,3.Их сумма равна 6.Других вариантов чтобы сумма была 6 нет.Второй вариант:сумма равна 7.А числа:1,2,4.То есть 1+2+4=7.Все остальные варианты сумм имеют больше решений. Пример :8=1+2+5=1+3+4 (уже 2 варианта решения)

Vasil Stryzhak [6.6K]
Если суммировать Вашу идею решения и Rafail, то в общем итоге имеем четыре варианта чисел:
1+2+3=6
1+2+4=7
100+99+97=296
100+99+98=297
 6 месяцев назад
комментировать
0

Четырнадцать - это день моего рождения считается что это число приносит удачу,

Пятьдесят один - Всегда лучше иметь 51% акций и иметь контроль над происходящим,

Сто - в данном случае это символизирует достижение цели, своего рода максимум, или же идеал.

Хотя респект за вопрос! теперь подумаю что бы это для меня значило, потому как числа выбирал на вскидку, значит они близко дежали и имеют какое- то влияние

Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация
OpenID