Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
1

Как нужно уточнить старую стоимость водки, чтобы 1,49^2,87 дало π точнее?

il63 [146K] 2 года назад

Когда-то четвертинка стоила 1 рубль 49 коп., а пол-литровка 2 руб. 87 коп. Советские математики давно обратили внимание на то, что если цену четвертинки возвести в степень, равную цене пол-литровки, то получится после округления 3,1408 ≈ 3,141, то есть число "пи" с точностью до четырех значащих цифр! Однако цены ведь тоже были округленные - до целых копеек. А если их не округлять? Как нужно уточнить эти цены - 1,49 и 2,87 (до десятых, сотых и т.д. копейки, но оставляя "круглые" 1,49 и 2,87), чтобы получить как можно больше правильных знаков числа "пи"? Сколько знаков из первых десяти (3,141592653) можно таким образом получить? Можно ли, например, получить 3,1416? А 3,14159?

Vasil Stryzhak [9.2K]
Вот в качестве примера на пределе возможности Excel
(1,490125)^(2,870004­1615067) = 3,1415926535898.
Но, очевидно наиболее интересны варианты с добавлением наименьшего количества значащих цифр к 1,49 и 2,87, чтобы получить как можно больше правильных знаков числа "пи".
Предлагаю следующие версии:
(1,49007)^(2,87027) = 3,141592,
(1,4901)^(2,870125) = 3,141592.
 2 года назад
il63 [146K]
Уже много разных ответов и способов. Вырисовывается новый раздел математики.  2 года назад
комментировать
2

Конечно можно. Вот например такое число: 1,490103^(2,8701104)=3,1415926538. Само число Пи с точностью до 10 знаков после запятой Пи=3,1415926536. Можно подогнать ещё точнее, в принципе, пока позволяет точность Excel, а если её не хватит, то можно написать несложную программу, и подобрать такие значения, чтобы совпадало любое число знаков.

система выбрала этот ответ лучшим
il63 [146K]
Здорово! С помощью калькулятора когда-то можно было подогнать только методом проб и ошибок и получить 1,4909 в степени 1,8663 = 3,1416. Но неужели можно подогнать и 100 знаков пи?  2 года назад
Rafail [123K]
Если функция непрерывная и в некотором интервале аргументов принимает значения как меньшие, так и большие заданной величины, то всегда можно подобрать такие значения аргумента, чтобы функция пряла любое, наперёд заданное значение.  2 года назад
il63 [146K]
Что-то похожее на теорему Коши, с небольшими изменениями.  2 года назад
комментировать
1

Фигня вопрос. Достаточно взять логарифм от пи по основанию 1,49, чтобы получить нужный ответ: 2,87060791396381. И вполне понятно, что если есть "100-разрядный Эксель", то можно получить и 100-разрядную точность.

Тут интереснее другое: а какие надо взять два числа, чтоб они ОБА были максимально близкие к 1,47 и 2,89 и при этом выполнялось условие x^y = пи. То есть типичная задачка нахождения "оптимума" функции двух переменных. Всё, что надо, - это задаться критерием близости. Ну к примеру потребовать, чтоб евклидово расстояние от точки (х, у) до точки (1.49; 2.87) было минимальным.

К сожалению, в таком виде эта задача приводит к трансцендентным уравнениям, то есть аналитического решения для неё не существует. Так что тут придётся либо "честно" решать её численно, например, в Матлабе, либо воспользоваться тем, что приближённое значение нам известно, а функции "достаточно плавные", то есть их обе можно линеаризовать в окрестности точки (1.49; 2.87), представив искомые координаты в виде х=Xo+δ, у=Yo+ε, где δ, ε << 1.

Стало быть, берём уравнение y*lnx = ln(pi) и подставляем принятые обозначения для х, у:

(Yo+ε)*ln(Xo+δ) = (Yo+ε)*ln[Xo(1+δ/Xo)] ≈ (Yo+ε)*lnXo*δ/Xo.

Последнее выражение учитывает малость параметра δ/Хо и знакомое с детства свойство логарифма.

Идём дальше и раскрываем скобки:

(Yo+ε)*lnXo*δ/Xo = Yo*lnXo*δ/Xo + ε*lnXo*δ/Xo = Yo*lnXo*δ/Xo +о(δ), где о, как это принято, обозначает величину второго порядка малости.

Так что линеаризованное уравнение выглядит так:

Yo*lnXo*δ/Xo = ln pi,

откуда находится малый параметр δ. Это значение подставляется в выражение расстояния от искомой точки до точки (Хо, Yo) и стандартным способом ищется, при каком значении ε достигается его минимум.

Желающие могут поупражняться.

А потом принять найденные координаты за новую точку (Хо, Yo) и поупражняться ещё раз.

1

М-дааа... Я хотел отчитаться по своим исследованиям в Экселе, но тут меня уже опередили, притом с точностью на 3 порядка больше, чем у меня.

Поэтому приведу только результаты:

(1,49)^(2,87) = 3,140831

(1,49)^(2,871) = 3,142084

(1,4893)^(2,874) = 3,141599

(1,4898)^(2,8716) = 3,141625

(1,49)^(2,8706) = 3,141583

(1,4905)^(2,8682) = 3,141599

(1,491)^(2,8658) = 3,14161

(1,4911)^(2,8653) = 3,141586

il63 [146K]
Отчет принят. А я подбирал (очень давно) на карманном калькуляторе, методом последовательных приближений.  2 года назад
Mefody66 [28.7K]
Очень давно я вообще не знал про этот прикол  2 года назад
il63 [146K]
А я знал его, когда были именно эти цены :). Какова вероятность, что это случайное совпадение, а не шутка кого-нибудь из Минторга?  2 года назад
Mefody66 [28.7K]
Вы издеваетесь? Кто тогда работал в Минторге - эти чиновники вряд ли вообще умножать умели, не говоря уж о возведении в степень. Это чистая случайность.
Вспомните миниатюру Райкина про дурака директора, который спал на столе. В Министерства все такие шли.
 2 года назад
il63 [146K]
В Минторге СССР работали очень образованные и знающие люди. Во всяком случае, с "Феликсом" обращались, не задумываясь. Райкин изобразил такого дурака, потому что только такая "критика" и разрешалась. И никто в министерстве на столе не спал, его бы случае чего просто посадили бы. Райкину так написали (возможно, Жванецкий?), чтобы смешнее было.  2 года назад
комментировать
Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация
OpenID