Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
4

Задача. 5-й класс. Чему равно отношение скоростей?

FEBUS [1.6K] 3 года назад

Дочка моих знакомых училась в 5-м классе. Учительница задала им такую задачу.

Формулировка оригинальная.

Из пунктов А и В одновременно выехали автомобиль и мотоцикл. Через час автомобиль был посередине между пунктом А и мотоциклом. Еще через час автомобиль и мотоцикл находились на одинаковом расстоянии от пункта А.

Найти отношение скоростей мотоцикла и автомобиля.

Vasil Stryzhak [10.4K]
Условие задачи составлено небрежно. Как отметил Rafail, следуя логике изложения условия, автомобиль стартует из пункта А, а мотоцикл из – В. Но данный вариант не имеет решения, о чем свидетельствуют ответы. Есть два варианта решения в случае старта автомобиля из пункта В. Если транспортные средства едут навстречу друг другу, то отношение скоростей автомобиля и мотоцикла равно 2,5 (решение Светланы0202). Во втором варианте, когда они движутся в одном направлении (от В на А), отношение скоростей автомобиля и мотоцикла составляет 1,5.  3 года назад
FEBUS [1.6K]
Это не так.  3 года назад
Rafail [134K]
Василий, Вы неправы, утверждая, что в приведённом варианте задача не имеет решений. Если не поленитесь, и проделаете все те процедуры с планом, как я описал, то убедитесь, что задача имеет бесконечное число решений. Даже если поставить ограничение прямолинейности движения каждого участника и неизменности вектора скорости, то число решений всё равно остаётся бесконечно большим.  3 года назад
Rafail [134K]
Василий. FEBUS не понял, или не захотел понять мои рассуждения, поэтому пишу специально для Вас.
Итак, и автомобиль и мотоцикл движутся по прямой. Автомобиль выезжает из города А и через 2 часа оказывается в некой точке А2. За час до этого в точке А2, она же М1 был мотоцикл. Через два часа мотоцикл оказывается в точке М2 на расстоянии АА2 от точки А. Проведём окружность радиусом АА2 с центром в А. Мотоцикл через 2 часа может оказаться в любой точке этой окружности (это будет точка М2). Проведём отрезок М1М2. Это будет путь, пройденный мотоциклом за второй час. Продолжив отрезок М2М1 в сторону М1 на такую же величину (до точки М0), получим путь, пройденный мотоциклом за первый час. Поскольку мотоцикл выехал из горда В, значит город В и точка М0 совпадают. Если мы на окружности за М2 возьмём другую точку, то получим и другую точку М0 (местоположение города В). Ведь по условию расположение города В не определено. Таким образом, получается бесконечное число решений.
 3 года назад
FEBUS [1.6K]
Ну что вы пишите ? Какие окружности ? Едут по дороге...  3 года назад
все комментарии (еще 4)
комментировать
4

Поучительная задачка на предмет того, насколько мы зашорены и ограничены в мышлении предыдущим опытом решения подобных задач. А также на предмет того, что условие задачи должно должно быть достаточно полным, чтобы позволить однозначно решить задачу.


Давйте попробуем начертить план, на котором обозначим точками города А и В, а также положения автомобиля и мотоцикла в начальный момент времени А0 и М0, а моменты времени 1 час и 2 часа, соответственно точками А1 и А2 и М1 и М2.

Очевидно, что точка А0 совпадает сточкой А (обозначением города), а М0 - с точкой В.

Что нам задано однозначно? "Через час автомобиль был посередине между пунктом А и мотоциклом.".

Т.е. мы можем произвольно поставить точки А0 и М1, соединить их отрезком и на его середине поставить точку А1. Условие "Через час автомобиль был посередине между пунктом А и мотоциклом." - выполнено. И Всё. Больше нас ничто не ограничивает в наших фантазиях (к условию "Еще через час автомобиль и мотоцикл находились на одинаковом расстоянии от пункта А." вернёмся чуть позже.


Нигде в условии не сказано, что движение автомобиля и мотоцикла прямолинейное и с постоянными скоростями. Ну ладно, можно согласиться, что вопрос "Найти отношение скоростей мотоцикла и автомобиля" предполагает, что величины скоростей остаются постоянными. Но ведь движение может быть и не по прямой. Начертим на нашем плане ЛЮБУЮ кривую линию Любой длины от точки А0 к точке А1. Затем поставим на плане совершенно ПРОИЗВОЛЬНО точку А2 почти в любом месте с единственным ограничением, чтобы длина прямой А1А2 не превышала длины кривой А0А1 (можно измерить курвиметром. Далее, проведём окружность радиусом А0А2 с центром в точке А0 (т.е. в городе А). Теперь, АБСОЛЮТНО В ЛЮБОМ месте этой окружности поставим точку М2. Теперь условие "Еще через час автомобиль и мотоцикл находились на одинаковом расстоянии от пункта А." тоже выполнено. От точки М1 до точки М2 мы можем нарисовать любую кривую линию. Далее, от точки М1 мы можем нарисовать любую кривую линию той же длины, что и между М2 и М1, и там поставить точку М0 (город В).

Итак, все условия задачи выполнены, и количество решений у нас - насколько хватает фантазии.


В большинстве школьных задач на движение молчаливо предполагается (если особо не оговаривается, например при беге по кругу на стадионе), что движение происходит по прямой, хотя ЭТО УСЛОВИЕ ОБЯЗАТЕЛНО НУЖНО ОГОВАРИВАТЬ.

Ну ладно, предположим, что у нас в условии сказано, что движение прямолинейное и с постоянной скоростью. Тогда число вариантов значительно уменьшается, но ещё остаётся бесконечно большим.

Начертим план заново. Чертим отрезок А0М1. На середине его ставим точку А1. откладывая от точки А1 отрезок А1А2, равный отрезку А0А1 приходим к точке А2, в этой ситуации она совпадает с точкой М1. Чертим окружность радиуса А0А2 с центром в точке А0. Точку М2 можно поставить в ЛЮБОЙ точке этой окружности. Далее, через точки М2 и М1 провести прямую, и от точки М1 отложить отрезок М1М0, равный по длине отрезку М2М1. И в этом месте поставить точку В.


Итак, даже если бы было оговорено, что движение прямолинейное и всё время в одном направлении, т.е. векторы скоростей не меняются, всё равно получается бесконечное множество решений.

И ТОЛЬКО ЕСЛИ ВВЕСТИ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ОГРАНИЧЕНИЕ, ЧТО движение автомобиля и мотоцикла происходит только по прямой, проведённой через точки А и В, то только тогда условие задачи и решение становятся однозначными.

Продолжим радиус А0А2 за точку А0 до пересечения с окружностью. Если точку М2 поставить на этом пересечении, то получится, что за второй час мотоцикл проехал отрезок М1М2, равный диаметру окружности, а автомобиль - отрезок А1А2, равный половине радиуса окружности. Следовательно, скорость мотоцикла в 4 раза выше скорости автомобиля.

А если допустима скорость мотоцикла равная 0, то появляется ещё и второй вариант, когда точки в, А2 М0 М1 и М2 совпадают.


Ну, и напоследок, числовая иллюстрация. Скорость автомобиля 20 км/ч, мотоцикла 80 км/ч. Расстояние между городами равно 120 км. За первый час автомобиль проехал по направлению к городу В 20 км (точка А1). Мотоцикл проехал за это время 80 км по направлению к городу А и находился в 40 км от А (точка М1, она же впоследствии А2). За половину второго часа мотоцикл достиг города А, но не остановился и продолжил движение и к концу второго часа оказался на расстоянии 40 км от города А (точка М2) в противоположную от города В сторону. А автомобиль - в точке А2, она же М1 на линии между городами А и В в 40 км от города А и 80 км от города В.

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
FEBUS [1.6K]
Ну это уж слишком. Но, увы, неверно.  3 года назад
Rafail [134K]
Проверьте! Что именно неверно? Конкретно укажите.  3 года назад
FEBUS [1.6K]
5-й класс. Конечно, едут по прямой дороге с постоянными скоростями.
Но направление и пункты не привязаны. Три решения, не считая тривиального.
 3 года назад
Rafail [134K]
А в условии нельзя было указать, что по прямой?. И даже в этом случае бесконечное число решений.  3 года назад
FEBUS [1.6K]
Я дал в оригинальной редакции. Вы преамбулу не читали? Об этом и речь.
Но движение неравномерное и в плоскости - это уже не 5-й класс. Перегнули..
Разницу видите -
"Из пунктов А и В одновременно выехали автомобиль и мотоцикл."
"Из пунктов А и В одновременно выехали соответственно автомобиль и мотоцикл."
 3 года назад
комментировать
2

Обозначим скорость мотоцикла v, а машины w. Расстояние |AB| = S. За 1 час мотоцикл проехал v км, а машина w км.

То, что машина оказалась посередине между п.А и мотоциклом, означает, что она едет из п.А в п.В.

Расстояние между п.А и мотоциклом в этот момент равно (S - v). Расстояние от п.А до машины равно w.

(S - v)/2 = w; отсюда S = 2w + v

Через 2 часа расстояние от машины и мотоцикла до п.А было одинаковым. Значит, в этот момент они встретились.

Значит, S = 2(v + w) = 2v + 2w

Убираем S из уравнений, получаем уравнение с 2 неизвестными:

2w + v = 2v + 2w

v = 2v

Отсюда v = 0 - мотоцикл стоял на месте.

Если это неправильно, тогда остается другой вариант - они ехали не навстречу друг другу.

Машина ехала из п.А в п.В, а мотоцикл из п.В в ту же сторону, что и машина.

Но тогда получается вот что. Мотоцикл за 1 час проехал v км, его расстояние от п.А стало S+v.

А машина проехала половину этого расстояния, w км и оказалась посередине между п.А и мотоциклом.

Но за второй час она проедет опять w км (вторую половину) и окажется в том месте, где сейчас находится мотоцикл.

Значит, или мотоцикл остановился после 1 часа езды, или машина ускорилась. Иначе она за 2 часа мотоцикл не догонит.

FEBUS [1.6K]
Увы, нет.  3 года назад
комментировать
2

Я в математических формулах не очень, поэтому решу наглядным примером =)

Учитывая что вы сказали что мой первый вариант, где мотоцыкл стоит, не правильный, тогда ещё один вариант к которому я пришёл это вот такой:

Машина выезжает с пункта А в пункт В.

Мотоцыкл выезжает с пункта В и ездет по кругу, без разницы по какой траектории. Однако за 1 час мотоцыкл делает полный круг и возвращаеться на исходную позицию в пункте В.

На этот момент, машина находиться прямо между пунктом А и Мотоцыклом (то есть пунктом В). Далее, ещё через час машина проедет тоже растояние, также как и мотоцыкл проедет ещё 1 круг и встретяться вместе в пункте В.

Отношение скоростей выявить в данном случае не удасться, потому что у нас нет траектории мотоцыкла, то есть, мы не знаем сколько он проезжает за 1 круг.

Думаю так все условия вашей задачи соблюдены =Р

Пример

1

Очень интересная задача, решение которой, на самом деле, однозначно. Я опущу доказательства и пояснения, которые здесь уже приведены, о том, почему нет решения в том или ином случае. Исходим из того, что задача для 5 класса подразумевает прямолинейное равномерное движение. Тогда единственным вариантом будет тот, при котором мотоцикл (как уже упоминалось), выехав из пункта B, добирается до A и едет дальше до точки M (см. рис.).

чертеж к задаче

Примем за x расстояние, которое преодолевает автомобиль за 1 час.

Тогда, из рисунка: AC = CD = x.

Здесь D — это точка, в которой находится мотоцикл через час. В этой же точке через два часа окажется автомобиль.

Соответственно, AD = 2x. Это расстояние от автомобиля до A через 2 часа, и оно равно расстоянию мотоцикла от A через два часа, а это отрезок AM. Т.е. AM = AD = 2x. Отсюда, DM = AM+AD = 4x.

Но это то расстояние, которое проделал мотоцикл за второй час. То есть, час мотоцикл преодолевает расстояние 4x. А автомобиль - x.

Следовательно, скорость мотоцикла в четыре раза выше скорости автомобиля. Задача решена. Решение однозначно, и как раз для пятого класса.

FEBUS [1.6K]
Неверно, конечно.  более года назад
Eugenyus [17.8K]
Пока не приведены аргументы - конечно, верно.  более года назад
FEBUS [1.6K]
Все написано. Читайте.  более года назад
комментировать
0

Если допустить что машина отправляеться с пункта А в пункт Б. А Мотоцикл с пункта Б в пункт А, тогда можно сказать что без перемен в скорости движения, есть только одна возможность. Мотоцыкл должен стоять на месте.

Получаеться такая ситуация, через час машиа приодолела Х путь, и она ровно в центре между мотоцыклом и пунктом А.

Значит что за следующий час машина преодалеет путь в 2Х, то есть, она будет там, где до этого стоял мотоцыкл. Если же мотоцыкл движеться, тогда по истечению 2Х они никак не могли бы быть на одинаковой дистанции к пункту А. Итог, мотоцыкл стоит на месте =)

FEBUS [1.6K]
Что-то совсем не то.  3 года назад
Eclipse [2.7K]
Если в задачке ошибки нет, тогда это единственный логичный вывод, соотношение думаю напишете сами =)
Нарисуйте прямую. Дайте ей длину в 100км. Допустим мотоцыкл проехал 20км за час. Машина, чтобы быть на одинаковой дистанции между А и мотоцыклом, должна была проехать 40км. Однако ещё через час, мотоцыкл проехал бы ещё 20км, ведь скорость не меняется. Получается что мотоцыкл проехал бы 40км и находился в 60 км от пункта А. Однако, как не крути, машина проедет опять 40км, как и за первый час. Получиться что от пункта А машина будет в 80км.
 3 года назад
FEBUS [1.6K]
Увы, нет.  3 года назад
комментировать
0

Условии задачи для пятого класса дано не верное.Требуется определить соотношение скоростей автомашины и мотоцикла,что предпологает постояные или средние постояные скорости. Теперь,если авто в первом часе движения находится на середине между началом своего пути и положением где уже будет мотоциклист. Теперь,смотрите:если мото. будет второй час стоять на месте то к нему подъедет авто и они встретятся как хотело условие задачи.Этой ситуации отвечает множество решений.

Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация
OpenID