Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
4

Как доказать равенство?

Mefody66 [28.7K] 2 года назад

Это была очень популярная задача, когда я учился в школе.

У нынешних школьников она мне почему-то не попадалась.

Нужно доказать, что

³√(26 - √675) + ³√(26 + √675) = 4

Здесь ³√ - это кубический корень, а под ним √ - квадратный корень.

Можно записать в дробных степенях, чтобы было понятнее:

(26 - √675)^(1/3) + (26 + √675)^(1/3) = 4

Я прошу известных на сайте математиков пока молчать.

Смогут ли это решить нынешние школьники?

бонус за лучший ответ (выдан): 50 кредитов
ovro1 [69.4K]
Похоже школьников-математик­ов среди нас нету...
Неинтересен им наш ресурс, у них свое общение...
 2 года назад
Mefody66 [28.7K]
ovro1, судя по единственному ответу, который кривее некуда - так оно и есть.  2 года назад
Mefody66 [28.7K]
Если ответов не будет, то завтра я дам правильный ответ.  2 года назад
комментировать
2

Можно так (два способа)- первый доказательство, второй просто нахождение значения выражения

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
KKRV [10.2K]
А почему в первом способе (a+b) после (26^2-675)^(1/3) приравняли к 4 ?
Ведь именно это мы хотим доказать, а подставили как уже доказанное.
 2 года назад
epimkin [1.2K]
Ну, может быть, следовало добавить в самом начале фразу "Предположим, что а+в равно 4", а в конце фразу "Значит наше предположение оказалось верным"  2 года назад
Mefody66 [28.7K]
Вот, то, что вы написали внизу в рамочке - это и есть правильное решение. Обозначить выражение как неизвестное, получить кубическое уравнение, решить его и получить ответ А=4. Отсюда делается вывод, что исходное выражение и есть 4, потому что у этого уравнения только один действительный корень.  2 года назад
KKRV [10.2K]
А кубическое уравнение решается подбором, перебирая A=1,2,3... ?  2 года назад
epimkin [1.2K]
Это известный тип примеров. Методы решения у них разные, и в том числе первый. Завтра ещё один метод опубликую. Метод выделения полного куба. Под знаком кубического корня равно полному кубу. Первый корень- (2+(1/15)*sqrt(675))­^3 , второй( 2-(1/15)*sqrt(675))^­3. Теперь , если извлечь корни и сложить получится 4  2 года назад
все комментарии (еще 2)
комментировать
3

Доказательство: Обратим внимание на выражения находящиеся под знаками корней третьей степени(26 + √675) и (26 - √675) и преобразуем их (26 + √675)=(26+15√3) и (26 - √675)=(26-15√3)

Докажем что эти подкоренные выражения не что иное как кубы то есть под

знаками корней 3 степени находятся кубы (2+√3)³ и(2-√3)³ соответственно

(2+√3)³= 8 + 3х4√3 +3х2х3 + 3√3 =26+15√3 Справка: Тут использована формула куб суммы, 4-это квадрат первого слагаемого то есть двойки, √3^2=3 это квадрат второго слагаемого , 3√3=√3³ это куб второго слагаемого.

Аналогично пользуясь формулой куб разности получаем

(2-√3)³=8 - 3х4√3 +3х2х3 - 3√3 =(26-15√3)

Теперь извлекаем корни третьей степени из полученных кубов

Получаем 2+√3 + 2-√3 =4 что и требовалось доказать

1

Итак, даю решение, как обещал. Собственно, оно мало отличается от решения epimkina.

Представим левую часть, как x = A + B и докажем, что x = 4.

Здесь A = ³√(26 - √675); B = ³√(26 + √675)

Возведем все выражение в куб.

x^3 = (A + B)^3 = A^3 + 3A^2*B + 3A*B^2 + B^3 = A^3 + B^3 + 3A*B*(A + B).

Подставляем все, что можем, в том числе и A + B = x

x^3 = (³√(26 - √675))^3 + (³√(26 + √675))^3 + 3*³√(26 - √675)*³√(26 + √675)*x

Произведение кубических корней есть кубический корень из разности квадратов.

x^3 = 26 - √675 + 26 + √675 + 3x*³√(26^2 - 675)

x^3 = 52 + 3x*³√(676 - 675) = 52 + 3x

x^3 - 3x - 52 = 0

Разложим это уравнение на множители

x^3 - 4x^2 + 4x^2 - 16x + 13x - 52 = 0

x^2*(x - 4) + 4x*(x - 4) + 13(x - 4) = (x - 4)(x^2 + 4x + 13) = 0

Квадратное уравнение корней не имеет, поэтому кубическое имеет один корень

x = 4.

Тождество доказано.

Юрий Па [10.6K]
когда можно будет не молчать  2 года назад
комментировать
1

Интересная задача.

Чтобы доказать равенство нужно сначала избавиться от корней третьей степени. Делается это возведением в куб обе стороны уравнения. Но для удобства лучше сначала заменить ³√(26-√675) на x, ³√(26+√675) на y

тогда получим следующее

(x+y)^3=64

x^3+y^3+3xy(x+y)=64

Подставляем обратно значения вместо x, y

(³√(26-√675))^3+(³√(­26+√675))^3+3³√(26-√6­75)(³√(26+√675)(³√(26­-√675)+³√(26+√675))=6­4

26-√675+26+√675+3³√(­26-√675)(³√(26+√675)(­³√(26-√675)+³√(26+√67­5))=64

3³√(26-√675)(³√(26+√­675)(³√(26-√675)+³√(2­6+√675))=12

³√(26^2-√675^2)(³√(2­6-√675)+³√(26+√675))=­4

Если предположить, что выражение в правой скобке ³√(26-√675)+³√(26+√6­75=x+y=4, то

³√(26^2-√675^2)(x+y)­=4

³√(26^2-√675^2)*4=4

³√(676-675)*4=4

³√1*4=4

4=4

Что и требовалось доказать

1

Я такие задачи с кубическими радикалами радикалами встречала в задачниках Антонова, не много повышенной сложности.Сейчас такие задачи можно найти м в учебниках под звёздочкой.Не математик я, но чутьё подсказывает, что автор вопроса прав в решении.Почему?Просто возведя обе части в куб, причём сумму и разность одинаковых радикалов, сразу можно написать, что кубы обоих ражикалов дадут в результате 52.

Сложнее с утроенным произведением.

ну и ясно, что дальше утроенное наше исходное выражение пусть назовём его х: то есть x^3 = 52+3*x, x^3-3x = 52, x * (x^2-3) = 52 = 4*13

Если в целых числах, то решение сразу видно х(исходное выражение =4.

Есть ещё вариант x^3 -3x-52 = 0 разложить на множители причём подгоном под х-4.

Вторая скобка больше 0.А х=4

1

Ну вот еще один метод (правда мне не очень нравится), но пусть будет (для ознакомления)

Mefody66 [28.7K]
Интересно, конечно, но слоооожнаааа...  2 года назад
epimkin [1.2K]
Нет, на самом деле несложно. Просто не заметил вначале, что sqrt(675)=15sqrt(3), было бы , наверное проще. А то, что под корнем куб можно сразу догадаться, раз в итоге получается выражение без корней. А вообще даже есть задачи на выделение из выражений полных кубов  2 года назад
комментировать
0

(26 - √675)^(1/3) + (26 + √675)^(1/3) = 4

Так как у скобок одинаковая сетпень, то складываем их.

(26 - √675 + 26 + √675)^(1/3) = 4

Вичисляем в скобках

52^(1/3) = 4

Кубически корень из 52 = 3,7. Округляем до целого значения и получаем 4.

Mefody66 [28.7K]
Вообще неправильно. Сумма кубических корней не равна корню из суммы.
И это выражение ТОЧНО равно 4, а не примерно.
 2 года назад
Kuzmich291­192 [6.6K]
Я надеюсь, что это был фейк, а не ответ на полном серьёзе.  2 года назад
Linoge [12.4K]
Ох, точно. Вы правы, неверное начало.  2 года назад
комментировать
Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация
OpenID