Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
1

Как вычислить пределы числовой последовательности?

Екатерина Валерьевна Мальцева [51] более года назад

помогите вычислить пределы числовой последовательности

предел функции (6-n)^2 - (6+n)^2 деленное на (6+n)^2 - (1-n)^2 при n стремящейся к бесконечности

(6-n)^2 - (6+n)^2 как я раскрыла скобки, у меня получилось 36-12n+n^2 - 36+12n+n^2, как теперь сократить?

категория: образование
1

Про сокращение говорить не буду, в других ответах написано правильно - (-24n)/(35+14n). То есть нужно найти границу этого выражения при n стремящейся к бесконечности.

Тут просто. Используем правило Лопиталя (один из вариантов использования). Если для границы при аргументе, который стремится к бесконечности её значение (границы) имеет неопределённость бесконечность/ (делённая) на бесконечность, то такая граница эквивалентна границе отношения производных (как-то так, точно не помню).

Попробую в формулах:

lim (n -> бесконечности) f(n)/g(n) эквивалентна lim ( n -> бесконечности) f '(n)/g'(n), при g(n)<> 0.

Используем эту формулу. Начальная граница имеет неопределённость бесконечность на (/) бесконечность, при n к ней стремящейся. Значит используем правило Лопиталя. Получим

lim(n ->бесконечность) (-24/14) = -12/7.

Производные как находить объяснять не буду.

1

Во-первых, У Вас уже ошибка, так как по Вашему правильно должно быть 36-12n+n^2 - 36-12n-n^2, и тогда остаётся -24n.

Аналогично, и в знаменателе (по Вашему методу) получится 36+12n+n^2 - 1+2n-n^2=35-14n

Тогда Ваша дробь равна -24n/35-14n, или 24n/(14n-35).

Если изначально заметить, что в исходном выражении и в числителе и в знаменателе разность квадратов, и их можно разложить как разность квадратов, то результат получится тот же, но вычислять проще.

Дальше, преобразуем так:

24n/(14n-35)=(12/7)*14n/(14n-35)=(12/7)*(14n/(14n-35))=(12/7)*((14n-35+35)/(14n-­35))=

=(12/7)*((14n-35)/(14n-35)+35/(14n-35))=12/7*(1+35/(14n-35))=12/7+60/(14n-35). Пределом дробной части будет 0, и останется только "целая часть", т.е. 12/7.

Екатерина Валерьевна Мальцева [51]
Спасибо, в сокращении уже разобралась, получилось так же -24n/(35+14n)/ А откуда взяли 12/7?  более года назад
Rafail [110K]
Просто 24 разделил на 14. Вообще-то, конечно лучше и понятнее было бы, если бы вместо 12/7 написать везде 24/14.  более года назад
SIlm [6.1K]
Проверте ещё раз знак в знаменателе "36+12n+n^2 - 1+2n-n^2=35-14n­" - не так.  более года назад
Rafail [110K]
Да, безусловно, Вы правы. Недосмотрел. Бывает и на старуху проруха.  более года назад
SIlm [6.1K]
Ну да, как в анекдоте....математи­к при движении по траектории вычисленной для навесного падения полетел вверх....знак попутал. (В принципе самая частая ошибка. Сам не раз наступал на эти грабли)...  более года назад
все комментарии (еще 2)
комментировать
1

Сначала это выражение просто преобразовывают , упрощая :

[( 6 - n )^2- ( 6 + n )^2 ] / [( 6 + n )^2 -( 1 - n )^2] =. Преобразовывая, раскрыв скобки, получим следующее :

(- 24 * n } / [( 14*n + 35 }] = -24*n / 7*[ 2*n + 5 ].

Для вычисления предела последовательности при n стремящимся к бесконечности.разделим и числитель, и знаменатель на ( n ). Тогда получим :

-24 / [7 *( 2 + 5 / n )], что при n стремящимся к бесконечности превратится в :

-24 / [2 *( 2+0 )] =-24 /( 7 * 2 )=-12 / 7 , и это конечное значение, значит, последовательность предложенная для рассмотрения имеет конечный предел, равный ( -12/7) .

0

Примените алгебраическую формулу для разности квадратов двух чисел, не раскрывая скобок. У вас должна получить упрощенная дробь без степеней, а для нее предел найти гораздо легче. По моим представлениям дробь должна выродиться в нечто типа (6 - n) / (6 + n). А предел такой формулы стремится к нулю с отрицательной стороны числовой оси.

Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация
OpenID