Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
0

Можно ли предлагаемым методом построить правильные многоугольники?

Vasil Stryzhak [11.1K] 5 лет назад

Древнегреческие геометры более 3000 лет назад успешно решали многие задачи на построение с помощью циркуля и линейки. Они умели строить правильный треугольник, квадрат, пятиугольник и 15-угольник. Путем удваивания сторон получали другие многоугольники. Но вот правильные 7, 9, 11, 13, 18, 21, 22, 23 и т.д. угольники они с помощью циркуля и линейки так и не построили.

Предлагаю метод построения этих многоугольников. Рассмотрим построение на примере семиугольника. Строим шестиугольник на окружности радиусом ОА=1. Затем проведем два луча ОА и ОВ за пределы окружности. Отметим семь одинаковых отрезков на луче ОВ. Пусть ОD состоит из шести, а ОЕ из семи этих отрезков. Соединим прямой точку D с точкой А. Затем через точку Е проведем параллельно DА прямую до пересечения луча ОА в точке С. Тогда согласно правила построения пропорциональных отрезков ОС=1целой 1/6. Проведем окружность радиусом ОС. Если теперь построить уже на этой окружности правильный шестиугольник, то все его шесть сторон станут равными 1целой 1/6. От каждой стороны, допустим, отделим 1/6 часть и суммируем. Получаем (1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6)=1, семь отрезков единичной длины. Следовательно, на данной окружности раствором циркуля равным единичному отрезку можно отложить семь точек и построить правильный семиугольник.

Таким образом, можно строить и другие, правильные многоугольники. Так 9-ти угольник, строим на базе 8-ми угольника, 11-ти угольник на основе 10-ти угольника и т. д.

Если кто сомневается в правильности, пусть представит доказательство и формулу в общем виде расчета относительной погрешности предлагаемого метода.

bezdelnik [34K]
Как понимать ОС=1целой 1/6. На рисунке ОС примерно равно 3,8. Построение 7-ми угольника с помощью вставки дано в Википедии.  5 лет назад
Vasil Stryzhak [11.1K]
На основе построений, АС составляет 1/6 часть ОА. По условию ОА=1(единичному отрезку) тогда ОС =1+1/6. Неужели линейкой измеряли.  5 лет назад
bezdelnik [34K]
Линейкой я не измерял, а на глаз видно что большая окружность пересекает луч ОЕ на расстоянии от центра О примерно равным 3,8. Конец стороны предполагаемого 7-ми угольника следует обозначить не буквой Е а иначе.  5 лет назад
Vasil Stryzhak [11.1K]
Рассмотрим вывод формулы расчета относительной погрешности. Пусть n число сторон построенного правильного многоугольника. Тогда длина его стороны b=( (n-1)/ n))*с, где с - сторона многоугольника, на основании которого строится искомый. Относительную погрешность, выраженную в процентах, определим по формуле: δ=100*|a-b|/b=100*(a/b-1)=100*((n/(n-1))*a/с -1), где с = 2sin(180/n), а=2sin(180/(n-1)) - точные значения сторон исходного и искомого правильных многоугольников. В таблице приведены расчетные относительные погрешности построения некоторых многоугольников.
7 угольника - 1,24 %
9 угольника - 0,55 %
11 угольника - 0,29 %
13 угольника - 0,17 %
17 угольника - 0,07 %
 5 лет назад
комментировать
1

Вообще-то в Средние века было доказано (не помню, кем), что правильный n-угольник можно построить абсолютно точно с помощью циркуля и линейки без делений, только в 3 случаях:

1) n1=2^k, k>1 (4,8,16,...-угольники)

2) n2=2^(2^k)+1 (3,5,17,257,65537,...-угольники)

Эти числа называются "простые числа Ферма, хотя не все из них простые.

3) n3=2^m*n2 (6,10,12,...-угольники)

Известно, что Карл Фридрих Гаусс построил правильный 17-угольник, за что его назвали "королём математиков".

В итоге можно построить 3,4,5,6,8,10,12, и т.д. угольники, но нельзя 7,9,11,13 и т.д.

А данный способ или приближенный, или в нем неявно используется измерение отрезков с помощью линейки с делениями, а не только раствором циркуля.

Vasil Stryzhak [11.1K]
Спасибо за подробную информацию. Действительно лишь в 1796 году Карлу Фридриху Гауссу удалось доказать, что если число сторон правильного многоугольника равно простому числу Ферма, к которым, кроме 3 и 5, относятся 17, 257 и 65537, то его можно построить при помощи циркуля и линейки. Им же найдено значение косинуса центрального угла семнадцатиугольника, а не конкретное геометрическое построение.
Точку в деле построения правильных многоугольников поставило нахождение построений 17-, 257- и 65537-угольника. Первое было найдено Йоханнесом Эрхингером в 1825 году, второе — Фридрихом Юлиусом Ришело в 1832 году, а последнее — Иоганном Густавом Гермесом в 1894 году.
Следовательно, на этом основании Вы утверждаете, что предлагаемый метод приближенный. Если уверены – предложите формулу в общем виде расчета относительной погрешности.
 5 лет назад
комментировать
1

Данный метод точен. Общий метод построения произвольного правильного n-угольника таков: Строим правильный шестиугольник на кругу радиусом 1. Строим отрезок длиной n(Используя скажем теорему Фалеса). Проводим круг радиуса n. Строим правильный n-угольник стороной 1.

Vasil Stryzhak [11.1K]
Уточните, в каком отношении к единичному отрезку строится отрезок длиной n.  5 лет назад
Vlad K [12.4K]
Если отложить КС=АС, то ОК=8/6 ОА и на кругу радиуса ОК единичным раствором циркуля откладываем 8 одинаковых отрезков, построив на нем правильный 8-угольник и так далее. Например: если на прямой ОА ОХ=n/6, то на кругу радиусом ОХ единичным раствором циркуля можно построить правильный n-угольник.  5 лет назад
Vasil Stryzhak [11.1K]
Построение правильных многоугольников, исходя только от шестиугольника, при увеличении разности сторон между исходным и искомым, приводит к значительной погрешности. Это связано с тем, что сумма сторон шестиугольника значительно отличается от длины окружности. Если количество сторон многоугольника увеличивать, то их общая длина увеличивается, приближаясь к длине окружности, и соответственно удаляется от значения общей длины сторон шестиугольника.
В предлагаемом мною методе я использую несколько другой подход, так что разность сторон между исходным и искомым многоугольниками отличается на одну сторону. Тогда с увеличением сторон многоугольника повышается точность теоретического построения. Следовательно, вопрос заключается в предоставлении в общем виде расчета относительной погрешности предлагаемого метода.
 5 лет назад
комментировать
Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация