Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
1

Как записать число "а" в стандартном виде и что такое порядок числа?

bezdelnik [25.7K] более года назад
2

Стандартным видом действительного положительного числа a называется его представление в виде a = a0*10^m, где a0 - действительное число, принадлежащее промежутку [1; 10), называемое мантиссой числа, m - целое число, называемое порядком числа.

Для каждого положительного числа a существует и притом единственная пара чисел (a0; m) из указанных множеств, такая, что для него справедливо представление в стандартном виде с мантиссой a0 и порядком m. Обратно, для каждой такой пары чисел a0 и m существует и притом единственное число a с мантиссой a0 и порядком m.

Поэтому чтобы записать положительное число a в стандартном виде, нужно найти его мантиссу и порядок. В десятичном представлении числа его порядок можно определить так. Если число больше или равно 1, то порядок равен количеству цифр в числе, стоящих перед запятой, уменьшенному на 1. Если число целое (т.е., запятой нет), то её можно поставить после последней цифры числа. Если же число меньше 1, то оно имеет вид в десятичной записи: 0,... (после многоточия идут цифры), то порядок числа равен количеству всех нулей, стоящих перед первой ненулевой цифрой, включая 0 перед запятой, взятому со знаком "-". Чтобы найти мантиссу числа, нужно передвинуть запятую в нём так, чтобы она стояла сразу же после первой ненулевой цифры. Тогда модуль порядка показывает, на сколько разрядов была передвинута запятая, а знак порядка - направление переноса запятой - влево в случае положительного порядка и вправо в случае отрицательного. Видим, что порядок числа можно находить двумя способами: считая количество цифр перед запятой либо количество нулей перед первой ненулевой цифрой, либо по количеству разрядов, на которые переносится запятая для определения мантиссы (равно модулю порядка) и направлению этого переноса (показывает знак порядка).

Если количество цифр перед запятой, исключая цифру 0, равно 1, то порядок числа равен нулю, а мантисса числа совпадает с самим числом.

Пример: Записать в стандартном виде следующие числа: а) 235,61; б) 0,000689; в) 4,381. Найти их мантиссу и порядок.

Удобнее решать пример с конца, т.е. с нахождении мантиссы и порядка.

а) Число цифр перед запятой равно 3, уменьшаем это число на 1 и получаем 2 - это порядок числа. Чтобы найти мантиссу, передвинем запятой к первой цифре справа: мантисса равна 2,3561. Обратим внимание: запятую передвинули на 2 разряда влево, значит порядок числа равен +2 или просто 2.

б) Число меньше 1. Значит, порядок отрицательный. Считаем число нулей, включая 0 перед запятой, получаем 4. Значит, порядок числа равен -4. Мантиссу находим, передвигая запятую к первой ненулевой цифре справа, получаем 6,89. Запятую передвинули на 4 разряда вправо, значит порядок числа равен -4 (порядок отрицательный, поскольку перенос запятой осуществлялся вправо).

в) Число цифр перед запятой равно 1, отнимаем 1 и получаем 0 - это порядок числа. При определении мантиссы запятую передвигать не нужно, поскольку она уже стоит после первой цифры. Значит, мантисса равна 4,381, а порядок 0, поскольку переноса запятой не было.

Теперь мы можем представить все три числа в стандартном виде:

а) 235,61 = 2,3561*10^2

б) 0,000689 = 6,89*10^(-4)

в) 4,381 = 4,381*10^0

Обратим внимание, что во всех трёх случаях мантисса принадлежит промежутку [1; 10), а порядок - целое число. Кроме того, можно заметить, что саму степень десятки 10^m с целым показателем можно представить в виде 1*10^m. Здесь мантисса равна 1, а порядок m. Поэтому в промежуток мантиссы в определении записи стандартного вида положительного числа включается 1 и не включается 10. Если мы в этот промежуток включим 10, то получим, что степень десятки с целым показателем m можно записать в стандартном виде двумя разными способами: с мантиссой 1 и порядком m (1*10^m) и с мантиссой 10 и порядком m-1 (10*10^(m-1)), а это неудобно.

Указанное определение было дано для положительных чисел, поскольку сделать это удобнее именно так. Для отрицательных чисел запись числа в стандартном виде можно определить так: представить в стандартном виде модуль этого числа, а затем поставить перед мантиссой знак "-".

Пример: представить в стандартном виде число -45426.

Решение. Модуль данного числа равен 45426. Найдём его мантиссу и порядок. Это целое число, запятой в его записи нет, поэтому условно ставим её после последней цифры: 45426, а затем переносим так, чтобы она стояла после первой цифры. Получим 4,5426. Это и есть мантисса. Запятую передвинули на 4 разряда влево, значит порядок числа равен 4. Его можно было найти и по-иному, посчитав количество цифр в данном числе (5), а потом уменьшив его на 1: 5-1 = 4.

Теперь записываем модуль заданного числа в стандартном виде и ставим перед мантиссой знак "-". Получаем: -45426 = -4,5426*10^4. Мантисса числа равна -4,5426, а порядок равен 4. Обратим внимание, что мантисса не принадлежит промежутку [1; 10), но в этом нет противоречия, поскольку соответствующее определение, в котором участвует этот промежуток, было дано для положительных чисел, а для отрицательных оно было дано по-иному. Также заметим, что мантисса отрицательного числа принадлежит промежутку (-10; -1]. Порядок же, как и для положительного числа, принадлежит множеству целых чисел.

После того, как мы разобрали определение записи числа в стандартном виде для положительных и отрицательных чисел, осталось разобрать число 0. Считается, что 0 не имеет порядка, поскольку его нельзя представить однозначным образом в стандартном виде. Действительно, пусть 0 = a0*10^m. Для любого m степень 10^m не равна нулю, поэтому мантисса a0 равна 0. В этом случае порядок m не есть какое-то определённое число, а в качестве такового можно выбрать любое целое число. Поэтому число 0 нельзя представить в стандартном виде.

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация
OpenID