Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
1

Как решить задачу о правильном тетраэдре?

Mefody66 [25.2K] 3 месяца назад

Дан правильный тетраэдр ABCS (S вершина).

Длины ребер основания AB=BC=AC=√10.

Длины боковых ребер AS=BS=CS=5.

Как найти расстояние между ребрами AS и BC?

бонус за лучший ответ (выдан): 50 кредитов
4

Матушка-математика не велела проходить мимо. Тем более, что задачка интересная.

Вводное замечание. Тетраэдр наш вовсе не есть "правильный" -

Так что наш тетраэдр можно назвать равнобедренным. Был бы правильный - расчёт значительно упростился бы...

Итак, мы имеем тетраэдр SABC,

тетраэдр

в основании которого - правильный треугольник ABC.

Для того, чтобы узнать расстояние между рёбрами AS и BC, нам придётся ввести дополнительную плоскость, содержащую ребро AS и перпендикулярную ребру BC. Эта плоскость будет проходить через ребро AS и биссектрису угла CAB, то есть через середину отрезка BC. Обозначим эту точку через I:

тетраэдр плюс

Поскольку треугольник ABC - правильный, биссектриса AI перпендикулярна ВC. Треугольник AIS - равнобедренный, значит IS тоже перпендикулярно ВC

Рассмотрим образовавшийся треугольник AIS:

треугольник

Отрезок IM как высота треугольника перпендикулярен стороне AS и принадлежит плоскости (ais), которая перпендикулярна ребру BC тетраэдра. То есть - длина отрезка IM и будет ответом на поставленную задачу.

Из рёбер SB=SC и BC находим высоту равнобедренного треугольника SBC:

ф1

Подставляем значения (из условия задачи):

ф2

Аналогично находим длину отрезка AI:

ф3

ф4

Найдя длины отрезков IS и IA, мы уже можем браться за нахождение отрезка IM.

Отрезок IM как высота треугольника AIS образует два прямоугольных треугольника AIM и SIM. Пифагор нам в помощь:

ф5

В обоих равенствах - по два неизвестных. Но левые части и них равны. Чем и воспользуемся:

ф6

А теперь присмотримся: сумма длин отрезков AM и MS нам известна. Это длина ребра AS:

ф7

Отсюда

ф8

Делаем подстановку, преобразования - и имеем

ф9

Подставляем числовые значения:

ф10

откуда

ф11

Вычисляем длину отрезка IM

ф12

то есть

ф13

Что и является ответом на поставленную задачу.

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
Mefody66 [25.2K]
Спасибо! Я согласен, тетраэдр не совсем правильный, но в условии было написано так.
И ещё, вы опечатались в 3 абзаце.
Отрезки AI и SI перпендикулярны к ВС, а не к АС.
И в конце IM=√(26/4)=√26/2, а не √13/2.
 3 месяца назад
ВасВас [21.7K]
Об уровне знаний тех, кто составляет современные учебники/задачники, мне не то что говорить - думать тошно...
Кстати, в условии есть ещё одна шереховатость: обычно буквенные обозначения вершин фигур начинают с основания, а вершину, противоположную основанию, именуют как S. А обозначение такой фигуры в тексте задачи начинают с этой самой вершины: тетраэдр SABC.
За подмеченную опечатку - спасибо. Обратился к модерам за исправлением. Уверен - помогут.
 3 месяца назад
smog2605 [10.5K]
Интересно, что понятие равнобедренного треугольника существует, а равнобедреннего тетраэдра - нет. А было бы кстати.  3 месяца назад
ВасВас [21.7K]
Что касается "равнобедренного" тетраэдра...
Тетраэдр есть частный случай пирамиды. Среди множества пирамид выделяют подмножество "правильных" (довольно распространённое среди студентов и некоторых преподавателей название - "прямые" пирамиды): в основании - правильный многоугольник, высота из вершины опускается в центр основания, все боковые грани - равнобедренные треугольники.
Так что "наш" тетраэдр грамотно надо бы называть правильным.
 3 месяца назад
Mefody66 [25.2K]
Ещё когда я учился в школе (выпуск 1984 г.), у нас в учебниках тоже вот такие пирамиды называли правильными, у которых в основании правильный многоугольник, и все боковые ребра тоже одинаковые, но вовсе не обязательно равные сторонам основания.  3 месяца назад
все комментарии (еще 3)
комментировать
2

Возможно, предлагаемый способ будет представлять интерес любителем геометрии в плане компактного решения задачи.

В равностороннем треугольнике АВС проведем медиану АD. Из точки D опустим перпендикуляр на ребро АS. Тогда отрезок ЕD есть искомое расстояние между ребрами AS и BC. Соединим вершину тетраэдра с центром его основания отрезком SО. В результате имеем два подобных прямоугольных треугольника ЕАD и ОАS с общим углом α. Согласно пропорциональности сторон треугольников ЕD/АD=ОS/АS, получаем ЕD=АD*ОS/АS.

Определим неизвестные отрезки:

АD=√(АВ²-ВD²)=√(10-10/4)=√30/2;

АО=(2/3)* АD=(2/3)*(√30/2)= √30/3;

ОS=√(АS²-АО²)=√(25-30/9)=√(65/3).

Вычисляем искомый отрезок:

ЕD=(√30/2)*√(65/3)/5=√26/2.

Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
Быстрая регистрация
OpenID