Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
2

Как вычислить длину ленты украшающей карнавальную шапку-колпак?

Vasil Stryzhak [4.9K] более месяца назад

Для детского карнавального костюма изготовили картонную шапку-колпак в форме конуса. Колпак украсили лентой, наклеивая ее на боковую поверхность методом равномерной навивки с шагом 4 см. Сколько ленты израсходовано на украшение шапки, если диаметр основания конуса 17 см, а высота 34 см?

Mefody66 [24.1K]
Это не школьная задача  более месяца назад
Vasil Stryzhak [4.9K]
Согласен. Но вопрос адресован всем любителям математики.  более месяца назад
Mefody66 [24.1K]
Под словами "не школьная" я имел ввиду "не решаемая школьными методами". Конечно, какой-нибудь студент может её решить, взяв сходящийся ряд или интеграл по поверхности, но будет ли это интересно любителям головоломок и олимпиад?  более месяца назад
Vasil Stryzhak [4.9K]
Из условия следует - задачу надлежит рассматривать не в теоретическом плане решения (который не исключается), а скорее в практическом. Используя "школьные методы" вполне можно получить приближенный результат с достаточный степенью точности пусть в пределах 1 мм. Например, в 3 в. до н.э. Архимед в сочинении «Об измерении круга» вычислил периметры вписанных в окружность и описанных около нее правильных многоугольников – от 6- до 96-угольника. Таким образом, он установил, что число пи находится между 3 10/71 и 3 1/7. Последнее значение до сих пор используется при расчетах, не требующих особой точности.  более месяца назад
Mefody66 [24.1K]
Извините, но точность вычисления числа пи никак не приближает нас к решению задачи  более месяца назад
комментировать
2

Право же, не стоит ломать головы перед праздниками,= сделать развертку данного

украшения, положить на стол и обкатать места укладки ленты курвиметром, он не соврет и точно все измерит,( а риборчик тот нужный, очень полезен в каждом доме,( хоть не часто, но используется...))

Vasil Stryzhak [4.9K]
Полезность Вашей идеи бесспорна. В этом случае даже не стоит делать развертку, а измерение провести по поверхности конуса. Один мой знакомый в практике для этих целей использовал шнурок. Пока я, занимаясь сложными вычислениями, получал результат, он уже воплощал замысел конструкции в жизнь.
Вопрос заключается в вычислении, поэтому предложение сделать развертку данного украшения считаю абсолютно верным начальным этапом решения.
 более месяца назад
комментировать
1

Если посмотреть сверху на конус, то в проекции на поверхность стола навивка лены будет представлять собой спираль Архимеда (Рис.1).

Но подойдем к решению задачи «школьным методом». Сделаем развертку конуса. На рис. 2 изображено неполные три витка ленты в виде дуг синего цвета, что достаточно для рассмотрения методики решения. Границы витков выделены красным пунктиром, расстояние между которыми равно δ - шагу навивки. Для повышения точности расчета разделим развертку на t секторов (на рисунке для наглядности на три сектора). Через точки пересечения разделительных линий SB и SC с навивкой, проведены синие пунктирные дуги с интервалом d=δ/t. Части круговых колец, на которые поделена поверхность развертки, в первом приближении напоминают трапеции. На рис. 3 все части круговых колец представлены в виде трапеций с сохранением размеров. Следовательно, сумма всех диагоналей трапеций примерно соответствует длине навивки. Чем больше трапеций на развертке, тем точнее результат. Т. е. применяем метод Архимеда, определявшего длину окружности увеличением сторон вписанных в окружность и описанных около нее правильных многоугольников. Для наглядности достаточно рассматривать один сектор (Рис. 4), на котором в каждой трапеции изображены все участки дуг навивки.

Определяем радиус окружности при основании конуса R=17/2=8,5 см и ее длину L=2пR. Согласно условию высота конуса Н=34 см, тогда образующая конуса SА равна h=(Н^2+R^2)^0,5. Высоты всех трапеций равны d=δ/t, а их количество выражается целым числом n=[h/d] - от результата в квадратных скобках берется целая часть, а дробная отбрасывается. Длина сектора при основании l=L/t. Рассмотрим трапецию NTKP. Порядковый номер ее, считая сверху, N=5. Определяем расстояние от вершины S до FV средней линии N-ой трапеции h(ᶰ)=d(N-0,5). Согласно подобию треугольников BSC и FSV находим длину средней линии FV трапеции l(ᶰ)=l*h(ᶰ)/h. Тогда диагональ трапеции определяется формулой

В виду того, что последняя трапеция несколько меньше по размеру (развертка содержит нецелое количество интервалов), вычисление ее дуги производится отдельно. Я не буду останавливаться на нем, опираясь на изложенный материал это сделать несложно. Суммируя все диагонали трапеций, получаем длину навитой ленты.

Практическим расчетом, при рассмотрении развертки состоящей из девяти трапеций (равной количеству витков), получено значение 238,6944 см. Чтобы выяснить, в какой мере верена длина ленты, был проведен расчет при делении развертки на пять секторов (44 трапеции), результат - 238,9237 см. Третья итерация при делении развертки на десять секторов (88 трапеций) позволила получить более точное значение - 238,9313 см. Совпадение первых четырех значащих цифр, свидетельствует о достижении необходимой точности оговоренной в комментарии. Ответ 238,9 см.

0

Чтобы решить задачу, нужно хотябы знать угол при вершине этого конуса

Vasil Stryzhak [4.9K]
Угол при вершине конуса можно вычисть из исходных данных: диаметра основания конуса и его высоты.  более месяца назад
Mefody66 [24.1K]
Согласен, я почему-то не заметил этих чисел. Обратил внимание толькоина размеры ленты и что она ложится через 4 см.  более месяца назад
комментировать
Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
Быстрая регистрация
OpenID