Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
0

Как доказать что число простых чисел бесконечно?

bezdelnik [20.7K] 2 недели назад
5

Предположим, что их число конечно. Перемножьте их все вместе и прибавьте к результату 1.

Полученное число при попытке разделить на любое простое число будет давать в остатке 1 (т.е. не будет делиться ни на одно простое число).

И ни на одно составное число делиться не будет тоже, т.к. чтобы сократилась дробь, где в числителе стоит это число, а в знаменателе - составное, пришлось бы поделить числитель на какое-нибудь простое число, а это не получится (будет 1 в остатке).

Следовательно, исходное предположение о конечности количества простых чисел неверно.

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
2

Для начала вспомним определение:

Поскольку из определения следует, что число не может быть одновременно и простым, и составным – наглядно это можно представить примерно так:

Простые/составные 1

Пунктир в этой иллюстрации означает, что мы имеем дело с бесконечным количеством чисел – как составных, так и простых.

Итак, предстоит доказать, что количество простых чисел – бесконечно.

Сделаем это распространённым (не только) в математике методом contradictio in contrarium, доказательством от противного – попытаемся доказать, что количество простых чисел конечно. Обозначим это количество через Z.

Поскольку

формула 1

наибольшее простое число – любое натуральное число больше этого числа является составным

формула 2

Чтобы гарантировано получить натуральное число больше наибольшего простого (которое по определению простого числа будет к тому же составным), умножим последовательно все простые числа:

формула 3

А теперь прибавим к получившемуся произведению единицу.

Каким будет результат – простым или составным?

Сознательно опуская общеизвестный факт, что существует всего одна пара соседних (с разницей в единицу) натуральных чисел, являющихся простыми (это 2 и 3), т.е. фактически мы получили простое число, рассмотрим оба варианта ответа на этот вопрос.

Вариант 1: полученное число простое

формула 4

противоречит принятому за исходное утверждению

формула 5

Вариант 2: полученное число – составное

формула 6

определяет наличие как минимум ещё одного простого числа, которое больше, чем наибольшее простое число, поскольку при делении на любое (от наименьшего до наибольшего) простое число получается остаток. То есть, и здесь мы имеем противоречие исходному утверждению.

Вывод: ввиду невозможности доказать наличие наибольшего простого числа – количество простых чисел бесконечно.

Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
Быстрая регистрация
OpenID