Как быстро скачать свою почту из Mail.Ru на компьютер? Какие есть способы?

Совсем быстро не получится. Как вариант - скачивать по одному письму, либо выделив на странице все письма (25), отправить их как вложение - на другую почту. Неважно какую. После отправки появится текст: Ваше письмо отправлено. С активной ссылкой "письмо".

Следует нажать на "письмо", и в выпадающем меню выбрать "скачать на компьютер". Вложение сохранится как файл Windows Live Mail. При помощи которой его можно будет открыть в любое время. Увы, так придется поступать с каждой страницей Входящих (или Исходящих). Выделять по 25 писем, отправлять на стороннюю почту, и сохранять на компьютер сразу после отправки.