Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
1

Нет ли ошибки в формуле a/b + c/d = (ad + bc)/bd?

Алекс-89 [80.8K] 6 лет назад

a/b + c/d = (ad + bc)/bd.

(b не равно нулю, d не равно нулю.)

Это общая формула сложения обыкновенных дробей с разными знаменателями. Наверное, в учебниках её можно найти.

Но однажды мне сделали замечание: bd — это общий знаменатель, но вовсе не наименьший. Вычисления со знаменателем, который не является наименьшим, приведут к тому, что в расчётах будут большие числа. И вычисления могут замедлиться. Думаю, что замечание более или менее резонное.

Так нет ли ошибки в исходном примере, не нужно ли его изменить?

7

В самой формуле ошибок нет и её можно с чистой совестью использовать при решении подобных примеров, если...

в знаменателях этих дробей простые числа ( которые делятся без остатка на единицу и сами на себя ).

Если же в знаменателях сложные ( составные ) числа, которые можно представить в виде произведения двух и более простых чисел, то иногда итоговую формулу удаётся немного упростить, к примеру,

7/8 + 5/6 = 7/( 2*4 ) + 5/( 2*3 ) = ( 7*3 + 5*4 )/( 2*4*3 ) = 41/24

вместо

7/8 + 5/6 = ( 7*6 )/( 8*6 ) + ( 5*8 )/( 6*8) = ( 7*6 + 5*8 )/48 = 82/48 = 41/24

В данном случае именно 24, а не 48 будет наименьшим общим знаменателем.

Впрочем, если в знаменателях обеих дробей сложные числа, но не имеющие общих множителей, то и упрощать будет нечего:

7/9 + 3/4 = ( 7*4 + 3*9 )/(9*4) = 55/36 и никак иначе, хотя и 9, и 4 в знаменателях можно представить в виде произведения двух троек и двоек соответственно.

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
5

Если в ответе произвести почленное деление (на bd), получим исходную формулу. Поэтому ошибки нет. Теперь по поводу "наименьшего общего знаменателя" и "слишком больших числе, "с которыми неудобно вести расчеты". Всё зависит от конкретных чисел. Ведь далеко не всегда можно произвести сокращение. Например, для чисел 15 и 20 "наименьший общий знаменатель" будет 60, но в случае сложения 13/15 + 17/20 все равно придется записывать (13х20 + 17х15)/300, и лишь потом можно все числа разделить на 5, получив (13х4 + 17х3)/60, с дальнейшими действиями, чтобы получить ответ. Поэтому исходная формула, тем более в общем виде, верна всегда.

4

Ошибка есть. Но заценить её может только компьютер.

Должно быть a/b + c/d = (ad + bc)/(bd). В противном случае комп вначале поделит (ad+bc)на b, а результат помножит на d. И программёру, особенно, если вычисление гдето внутри текста очень длинной программы, будет практически безнадёжно понять, где чего неверно насчиталось.

Но это немного другая сторона вопроса.

По поводу замедления вычислений, то в определённом интервале значений (скажем b и d меньше 1 000 000) особых замедлений быть не должно. Да и пр более высоких значениях, просто произойдёт переход к числам с плвающей запятой. Но может пострадать, (а может не пострадать) точность. Пострадает только в том случае, если а имеет общие делители с d и/или с имеет общие делители с b. Но если и а, b, c, d не заданы изначально константами, а появляются в результате предварительных каких-то вычислений, то уже никуда не денешься, какой-бы формулой не пользовался.

2

Это какой -то из известных законов алгебры (то ли ассоциативный ) , и в нём сомневаться наверное не нужно ,Тем более , вы в таком виде произведя "операцию " почленного деления , причём на выражения , не равные 0 ,и придёте к тому , что левые и правые части идентичны.Берём правую часть :

( ad + bc ) / bd = ad / bd + bc / bd = a / b + c / d .

Мы из правой части путём почленного деления , что по асс-му закону справедливо получили исходную - левую часть.Ни один закон вроде не нарушен , условия никакие не применяли ,которые при других условиях не могли привести к равенству левых и правых частей .Так же можно привести и числовые примеры , но вроде это ни к чему.

1

Ошибки в самой формуле нет, кроме той, на которую указал Котеночкин. То есть знаменатель должен быть в скобках.

Формула эта - всеобщая, она подходит для любого варианта. А если (bd) - не наименьший знаменатель, то конечную дробь можно сократить.

Но проблема в том, что вы не можете провести сокращение раньше, чем найдете числитель: (ad+bc).

Самый простой пример: 1/3 + 1/6 = (6+3)/18 = 9/18 = 1/2.

Даже если найти наименьший знаменатель 6, получится так: 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2.

Пока вы не найдете числитель, вы не сможете понять, можно там будет что-то сократить или нет.

1

В приведенной формуле сложения обыкновенных дробей с разными знаменателями есть ошибка, которая не влияет на результат. Как назвать эту ошибку точно не знаю. Можно сказать что это логическая ошибка заключающаяся в том что должно быть a/b + c/d = (ad + сb)/bd. на результат это не влияет потому что от перемены мест сомножителей с и b результат не меняется.

Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация