Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
5

Как найти такое число?

Mefody66 [26.9K] 2 года назад

Найти число, которое делится нацело на 2^2015 и в десятичной записи которого нет ни одного нуля.

Как такое решать?

бонус за лучший ответ (выдан): 100 кредитов
Борисов Игорь [147K]
Непонятен знак, указанный Вами между цифрами 2 и 2. Поясните, пожалуйста, что он означает? Умножение или что-то иное?  2 года назад
ольген [41.4K]
Это показывает, что два в степени 2015, как мне кажется.  2 года назад
Борисов Игорь [147K]
Не будем гадать. Попробуем дождаться указаний уважаемого автора, который, к сожалению, молчит уже почти час.  2 года назад
krenew [898]
Нет смысла ждать автора, это знак возведения в степень, спросите любого математика/программи­ста. Или просто посмотрите, каким знаком обозначает операцию возведения в степень калькулятор.  2 года назад
Mefody66 [26.9K]
Да, знак ^ - это возведение в степень. То есть это 2 в 2015-ой степени.  2 года назад
комментировать
2

К числу 2 можно на разряд левее приписать цифру, отличную от нуля, чтобы это число делилось на 2^2, например 12:4=3. К получившемуся числу также можно приписать ненулевую цифру, чтобы оно делилось на 2^3, например 112:2^3=14.Теперь покажем, что такую операцию мы можем продолжать до бесконечности( в нашем случае, до 2015-ой степени), что найдётся число X, записанное y разрядами, что 2^y=X. Мы доказали, что для фиксированного y=n число X=(2^n)*z найдено. Покажем что X можно построить и при y=n+1. При приписывании на разряд левее цифры m число имеет вид M = m*(10^n)+X= m*(2^n)*(5^n)+(2^n)*z = 2^n*(m*(5^n)+z). Рассмотрим число m*(5^n)+z при m =1;2. При различных значениях m m1*(5^n)+z и m2*(5^n)+z имеют разные остатки(0 и 1), поскольку в противном случае их разность (m2-m1)*(5^n) делилась бы на 2 без остатка, что неверно, поскольку 5^n всегда оканчивается на 5, т.е.нечётно, m2-m1=1-нечётно, а при произведении двух нечётных чисел произведение всегда нечётно. Следовательно, среди чисел m1 и m2 всегда имеется число, при подстановке которого на разряд левее в X, получится число M, всегда делящееся на 2^n+1. Таким образом, продолжая этот процесс до подстановки 2015-ой цифры, мы получим требуемое число.

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
Грустный Роджер [180K]
Мне представляется, что в этом доказательстве есть ошибка. Тут один и тот же параметр - n - фигурирует то в степени двойки, то в степени десятки. Меж тем десятичная запись числа заметно компактнее двоичной, поэтому Х=(2^n)*z и M = m*(10^n)+X никак не связаны: приписывание одной цифры слева в ДЕСЯТИЧНОЙ записи вовсе не эквивалентно тому, что тут m*(10^n). Показатель степени у десятки какой-то другой. Заметно меньший.  2 года назад
bretteur [4.6K]
Внесу дополнение, я хотел написать, что X всегда делится на 2^y, но допустил описку, написав в условии доказательства, что 2^y=X. А насчёт вашего дополнения замечу, что я обговорил в условии, что количество разрядов в делимом числе всегда равно показателю в степени двойки в делителе(X записано y разрядами и при этом делится на 2^y), при этом и делимое, и делитель изначально присутствуют в десятичной записи, и никаких переводов в двоичную я не совершал.  2 года назад
комментировать
2

Докажем, что существует число Q, что в десятичной записи числа Q*2^2015 нет ни одного нуля. (запись 2^2015 означает 2 в степени 2015).


Запишем приведенное выражение, как Qn*2^n = Nn, где Qn и Nn - натуральные числа.

Докажем утверждение, что всегда найдется число из n цифр Nn, в записи которого встречаются только единицы и двойки, которое делится на 2^n.

Доказательство проведем по индукции.

  1. n = 1. N1 = 2 - делится на 2^1 = 2.
  2. Пусть мы построили число Nn = Qn*2^n. То есть Nn делится на 2^n. Припишем к этому числу Nn слева 1 или 2. Рассмотрим оба получившихся числа:

10^n + Nn = 10^n + Qn*2^n = 2^n*(5^n + Qn)

2*10^n + Nn = 2*10^n + Qn*2^n = 2^n*(2*5^n + Qn)

[Тут мы воспользовались тождеством: 10^n = 5^n*2^n]

Одно из этих чисел делится на 2^(n + 1) = 2^n*2, поскольку одно из чисел (5^n + Qn) и (2*5^n + Qn) чётно. Так как 5^n - нечетно, а 2*5^n - четно и Qn - не известно.

Утверждение доказано.


Теперь сам алгоритм нахождения такого числа.

1 - 2

2 - 12 (приписываем слева 1 или 2, чтобы делилось без остатка на 2^2 = 4, тут подходит 1)

3 - 112

4 - 2112

5 - 22112

.

10 - 1212122112

.

и так далее до 2015. В итоге получится число из 2015 цифр, в записи которого встречаются только 1 или 2 (нет ни одного нуля). Оно будет делиться на 2^2015.

0

Как мне кажется, на 2^2015 делится любое число из множества:

2^(n+2015), где n>0 и n - целое число.

К примеру 2^2016/2^2015 = 2

Задача усложняется тем, что в числе не должно содержаться нулей.

Думаю, что ответов множество.

Можно найти несколько ответов путём перебора.

Проверить на наличие нулей числа:

2^2016, 2^2017, 2^2018 ...

Пока не найдёте нужное число.

Лучше, конечно, под это написать компьютерную программку.

Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация
OpenID