Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
2

Как с помощью определения последовательности..­.?

magical [3.2K] 3 года назад

Как с помощью определения последовательности доказать, что последовательность y=(n+1)/(1-2n), имеет своим пределом A=-1/2 и найти целое значение N, начиная с которого [y-A]<Эпселен, для эпселен=10^(-2)?

2

Только, наверное, не определение последовательности, а определение предела последовательности.

Число А - предел последовательности y = x(n), если для любого e > 0 существует такое N, что при любом n > N выполнено:

|x(n) - A| < e

У тебя последовательность y = (n+1)/(1-2n) = (n+1)/(-2n+1)

Идем строго по определению. Пусть у нас есть какое-то маленькое положительное число e > 0.

Нам надо доказать, что А = -1/2 - предел этой последовательности.

Для этого надо найти N - наименьший номер последовательности, такой, что для всех номеров n > N выполнено:

|x(n) - A| < e

А для всех номеров n <= N выполнено:

|x(n) - A| >= e

То есть нам надо решить систему неравенств:

{ |x(n-1) - A| >= e

{ |x(n) - A| < e

Подставляем нашу формулу:

{ n/(-2(n-1)+1) >= e

{ (n+1)/(-2n+1) < e

Упростим 1 неравенство

{ n/(-2n+3) >= e

{ (n+1)/(-2n+1) < e

Делим в обоих неравенствах знаменатель на -2, то есть по сути умножаем оба неравенства на -2. При этом меняется знак.

{ n/(n-3/2) <= -2e

{ (n+1)/(n-1/2) > -2e

Выделяем целую часть в обоих неравенствах

{ 1 + 1,5/(n-1,5) <= -2e

{ 1 + 1,5/(n-0,5) > -2e

Разделим оба неравенства обратно на -2. При этом снова меняется знак.

{ -2 - 0,75/(n-1,5) >= e

{ -2 - 0,75/(n-0,5) < e

Оставляем с одной стороны дробь, а с другой все остальное.

{ -0,75/(n-1,5) >= 2 + e

{ -0,75/(n-0,5) < 2 + e

Переворачиваем дроби, при этом знаки опять меняются.

{ (n-1,5)/(-0,75) <= 1/(2+e)

{ (n-0,5)/(-0,75) > 1/(2+e)

Упрощаем, домножая на -0,75, при этом знаки снова меняются.

{ n-1,5 >= -0,75/(2+e)

{ n-0,5 < -0,75/(2+e)

Выражаем n через е.

{ n >= 1,5 - 0,75/(2+e)

{ n < 0,5 - 0,75/(2+e)

В примере e = 10^(-2) = 0,01.

{ n >= 1,5 - 0,75/2,01 ~ 1,12

{ n < 0,5 - 0,75/2,01 ~ 0,12

То есть точность в 0,01 обеспечивается уже с n = 1. Чувствую я, что где-то ошибся, а найти не могу. Может, кто подскажет?

Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация
OpenID